【題目】如圖,頂點為(,-)的拋物線y=ax2+bx+c過點M(2,0).
(1)求拋線的表達式;
(2)點A是拋物線與x軸的交點(不與點M重合),點B是拋物線與y軸的交點,點C是直線y=x+1上一點(處于x軸下方),點D是反比例函數(shù)y=(k>0)圖象上一點,若以點A,B,C,D為頂點的四邊形是菱形,求k的值.
【答案】(1)y=(x-)2-(2)或
【解析】
(1)依題意可設拋物線方程為頂點式(a≠0),將點M(2,0)代入可得:,解得a=1.故拋物線的解析式為:;
(2)由(1)知,拋物線的解析式為:.
則對稱軸為x=,∴點A與點M(2,0)關(guān)于直線x=對稱,∴A(-1,0).
令x=0,則y=﹣2,∴B(0,﹣2).
在直角△OAB中,OA=1,OB=2,則AB=.
設直線y=x+1與y軸交于點G,易求G(0,1),∴直角△AOG是等腰直角三角形,∴∠AGO=45°.
∵點C是直線y=x+1上一點(處于x軸下方),而k>0,所以反比例函數(shù)(k>0)圖象位于點一、三象限.
故點D只能在第一、三象限,因此符合條件的菱形只能有如下2種情況:
①此菱形以AB為邊且AC也為邊,如圖1所示,過點D作DN⊥y軸于點N,在直角△BDN中,∵∠DBN=∠AGO=45°,∴DN=BN=,∴D(﹣,﹣﹣2),∵點D在反比例函數(shù)(k>0)圖象上,∴k=﹣×(﹣﹣2)=;
②此菱形以AB為對角線,如圖2,作AB的垂直平分線CD交直線y=x+1于點C,交反比例函數(shù)(k>0)的圖象于點D.
再分別過點D、B作DE⊥x軸于點F,BE⊥y軸,DE與BE相較于點E.
在直角△BDE中,同①可證∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°,∴BE=DE.
可設點D的坐標為(x,x﹣2).
∵BE2+DE2=BD2,∴BD=BE=x.
∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=BD=x,∴在直角△ADF中,AD2=AF2+DF2,即(x)2=(x+1)2+(x﹣2)2,解得x=,∴點D的坐標是(,).
∵點D在反比例函數(shù)(k>0)圖象上,∴k=×=.
綜上所述,k的值是或.
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【題目】如圖,AB是⊙O的切線,B為切點,圓心在AC上,∠A=30°,D為 的中點.
(1)求證:AB=BC;
(2)求證:四邊形BOCD是菱形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標分別為A(-5,1),B(-1,1),C(-4,3).
(1)若△A1B1C1與△ABC關(guān)于y軸對稱,點A,B,C的對應點分別為A1,B1,C1,請畫出△A1B1C1并寫出A1,B1,C1的坐標;
(2)若點P為平面內(nèi)不與C重合的一點,△PAB與△ABC全等,請寫出點P的坐標.
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【題目】如圖,BP平分∠ABC,D為BP上一點,E,F分別在BA,BC上,且滿足DE=DF,若∠BED=140°,則∠BFD的度數(shù)是( 。
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
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【題目】如圖,在四邊形ABDC中,∠D=∠B=90°,點O為BD的中點,且AO平分∠BAC.
(1)求證:CO平分∠ACD;
(2)求證:OA⊥OC;
(3)求證:AB+CD=AC.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(0,2),△AOB為等邊三角形,P是x軸上一個動點(不與原O重合),以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形△APQ.
(1)求點B的坐標;
(2)在點P的運動過程中,∠ABQ的大小是否發(fā)生改變?如不改變,求出其大小;如改變,請說明理由.
(3)連接OQ,當OQ∥AB時,求P點的坐標.
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【題目】數(shù)學課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:)
例2 等腰三角形中,,求的度數(shù).(答案:或或)
張老師啟發(fā)同學們進行變式,小敏編了如下一題:
變式 等腰三角形中,,求的度數(shù).
(1)請你解答以上的變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),的度數(shù)不同,得到的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中,設,當有三個不同的度數(shù)時,請你探索的取值范圍.
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【題目】探究:
Ⅰ直線與x軸夾成的銳角為______度;直線與x軸夾成的銳角為______度;直線與x軸夾成的銳角為______度;
Ⅱ設直線與x軸夾成的銳角為,試用的三角函數(shù)表示k,并給予證明.
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【題目】某學校舉行一場知識競賽活動,競賽共有4小題,每小題5分,答對給5分,答錯或不答給0分,在該學校隨機抽取若干同學參加比賽,成績被制成不完整的統(tǒng)計表如下.
成績 | 人數(shù)頻數(shù) | 百分比頻率 |
0 | ||
5 | ||
10 | 5 | |
15 | ||
20 | 5 |
根據(jù)表中已有的信息,下列結(jié)論正確的是
A. 共有40名同學參加知識競賽
B. 抽到的同學參加知識競賽的平均成績?yōu)?/span>10分
C. 已知該校共有800名學生,若都參加競賽,得0分的估計有100人
D. 抽到同學參加知識競賽成績的中位數(shù)為15分
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