Question

【題目】如圖所示，O為一個(gè)模擬鐘面圓心，M、O、N 在一條直線(xiàn)上，指針 OA、OB 分別從 OM、ON 出發(fā)繞點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)，OA 運(yùn)動(dòng)速度為每秒 30°，OB 運(yùn)動(dòng)速度為每秒10°，當(dāng)一根指針與起始位置重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒，試解決下列問(wèn)題：

（1）如圖①，若OA順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OB逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，= 　　 秒時(shí)，OA與OB第一次重合；

（2）如圖②，若OA、OB同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，

①當(dāng)=3秒時(shí)，∠AOB= 　　 °；

②當(dāng)為何值時(shí)，三條射線(xiàn)OA、OB、ON其中一條射線(xiàn)是另兩條射線(xiàn)夾角的角平分線(xiàn)？

Answer 1

【答案】（1）4.5；（2）① 120°；②經(jīng)過(guò)4.5，7.2秒時(shí)，其中一條射線(xiàn)是另外兩條射線(xiàn)夾角的平分線(xiàn).

【解析】

（1）設(shè)t秒后第一次重合．根據(jù)題意，列出方程，解方程即可；

（2）①利用180°減去OA轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，加上OB轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即可得到答案；

②先用t的代數(shù)式表示∠BON和∠AON，然后分為三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)ON、OA、OB為角平分線(xiàn)時(shí)，分別求出t的值，即可得到答案.

解：（1）若OA順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OB逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，

∴∠AOM+∠BON=180°,

∴，

解得：；

∴秒，OA與OB第一次重合；

故答案為：4.5；

（2）①若OA、OB同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，

∴，，

∴；

故答案為：120；

② 由題意知，

∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6<t≤12).

當(dāng)ON為∠AOB的角平分線(xiàn)時(shí)，有

180－30t ＝10t ，

解得：t ＝4.5；

當(dāng)OA為∠BON的角平分線(xiàn)時(shí)，

10t ＝2(30t －180)，

解得：t ＝7.2；

當(dāng)OB為∠AON的角平分線(xiàn)時(shí)，

30t －180＝2×10t ，

解得：t ＝18（舍去）；

∴經(jīng)過(guò)4.5，7.2秒時(shí)，射線(xiàn)OA、OB、ON其中一條射線(xiàn)是另外兩條射線(xiàn)夾角的平分線(xiàn).