Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，-4)，與x軸交于點(diǎn)B(-2，0)，C(8，0)，連接AB，AC．

（1）求出二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AB，交AC于點(diǎn)M，連接AN，當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A，B，O為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A，N，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(3，0)或(0，0)；（3）(-8，0)或或(3，0)或（8+4，0）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）易知△ABC是直角三角形，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），分兩種情況討論，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，構(gòu)建方程，根據(jù)解方程式求得即可；
（3）分別以A、C兩點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于三個(gè)點(diǎn)，由AC的垂直平分線與x軸交于一個(gè)點(diǎn)，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B（-2，0）、C（8，0），與y軸交于A（0，-4）

∴ ，

解得： ，

∴二次函數(shù)表達(dá)式是；

（2）∵AB2=BO2+AO2=20，AC2=AO2+OC2=80．

∵BC2=(BO+OC)2=100，

∴AB2+AC2=BC2．

∴△ABC是直角三角形；

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）,

∵∠AOB=∠NMA=90°，

∴有兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，

∵，

∴

∴

∴=8-n

Rt△OAN中，

即

解得：n=3

∴n（3，0）

②當(dāng)時(shí)，

∵NM∥AB

∴

∴

即N與原點(diǎn)O重合，

∴此時(shí)N（0，0）

綜合①②得，N點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）或（0，0）．

（3）由（2）知，AC=，

①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（8，0），
②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（，0）或（8＋4，0）；
③如圖，作AC的垂直平分線交AC于M，交x軸于N，

∴△AOC∽△NMC．
∴,即，
∴CN＝5．
∴此時(shí)N的坐標(biāo)為（3，0），
綜上，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（-8，0）、（8-4，0）、（3，0）、（8+4，0）.