Question

【題目】已知：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且、，點D是第四象限的拋物線上的一個動點，過點D作直線軸，垂足為點F，交線段BC于點E

求拋物線的解析式及點A的坐標；

當時，求點D的坐標；

在y軸上是否存在P點，使得是以AC為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y，點A的坐標為；（2）點D的坐標為；（3）點P的坐標為，或．

【解析】

由點B，C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標；

由點B，C的坐標，利用待定系數法即可求出線段BC所在直線的解析式，設點D的坐標為，則點E的坐標為，點F的坐標為，進而可得出DE，EF的長，結合即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；

由點A，C的坐標，利用勾股定理可求出AC的長度，分及兩種情況考慮：當時，由AC的長度可得出CP的長度，結合點C的坐標即可得出點，的坐標；當時，由等腰三角形的性質可得出，結合點C的坐標即可得出點的坐標綜上，此題得解．

解：將，代入，得：

，解得：，

拋物線的解析式為．

當時，，

解得：，，

點A的坐標為．

設線段BC所在直線的解析式為，

將，代入，得：

，解得：，

線段BC所在直線的解析式為．

設點D的坐標為，則點E的坐標為，點F的坐標為，

，．

，

，

整理，得：，

解得：，舍去，

當時，點D的坐標為．

點A的坐標為，點C的坐標為，

，，

．

是以AC為腰的等腰三角形，

或．

當時，，

又點C的坐標為，

點的坐標為，點的坐標為；

當時，，

點的坐標為．

綜上所述：在y軸上存在P點，使得是以AC為腰的等腰三角形，點P的坐標為，或．