Question

1．建模是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，小明在計算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$時利用了如下的正方形模型．

第1次分割，把正方形的面積三等分，陰影部分的面積為$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；
…
由此計算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$的結(jié)果是$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 由陰影部分面積=1-空白部分面積，可得第n次分割圖中：$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，兩邊除以2可得答案．

解答 解：第1次分割，陰影部分的面積為$\frac{2}{3}$，空白部分面積為1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$；
第2次分割，陰影部分的面積之和為$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$，空白部分面積為1-（$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$）=$\frac{1}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；
…
第n次分割，所有陰影部分的面積之和為$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面積是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
兩邊同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

點評 本題考查了圖形的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解題的關(guān)鍵．