Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是直線AB上兩點(diǎn)．∠DCE=45°
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：DE²=AD²+BE²（附：將△CEB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)使得CB和CA重合）
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？畫(huà)出圖形，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理

專(zhuān)題：

分析：（1）將△CEB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使得CB和CA重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，然后求出∠DCF=45°，從而得到∠DCE=∠DCF，再利用“邊角邊”證明△CDE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=DE，再求出△ADF是直角三角形，然后勾股定理證明即可；
（2）結(jié)論成立，證明思路同（1）．

解答：（1）證明：如圖，將△CEB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使得CB和CA重合，
由旋轉(zhuǎn)得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE=CF ∠DCE=∠DCF CD=CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
故，DE²=AD²+BE²；

（2）結(jié)論DE²=AD²+BE²成立．
證明如下：如圖，將△CEB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使得CB和CA重合，
由旋轉(zhuǎn)得，CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ECF-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE=CF ∠DCE=∠DCF CD=CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠EAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴∠DAF=180°-∠EAF=180°-90°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
故DE²=AD²+BE²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目提供的信息，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．