Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點(diǎn)為F，F(xiàn)H∥BC，連結(jié)AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結(jié)BF．
（1）證明：AF平分∠BAC；
（2）證明：BF=FD；
（3）若EF=5，DE=4，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）如圖1，連接OF，根據(jù)FH為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OF垂直于FH，根據(jù)BC與FH平行得到OF垂直于BC，利用垂徑定理得到OF垂直平分BC，進(jìn)而得到BF=CF，利用等弦所對的圓周角相等即可得證；
（2）由BD為角平分線得到一對角相等，且∠BAF=∠CAF，再利用同弧所對的圓周角相等得到∠FBC=∠CAF，利用等式的性質(zhì)得到∠FDB=∠FBD，利用等角對等邊即可得證；
（3）由同弧所對的圓周角相等及∠BAF=∠CAF，等量代換得到一對角相等，再由一對角相等，得到三角形BEF與三角形AFB相似，由相似得比例求出FA的值，由FA-DF即可求出AD的長．

解答：（1）證明：如圖1，連接OF，
∵FH為圓O的切線，
∴OF⊥FH，
∴OF垂直平分BC，
∴BF=FC，
∴AF平分∠BAC；
（2）證明：由題意得：∠BAF=∠CAF，∠ABD=∠CBD，∠FBC=∠CAF，
∴∠BAF+∠ABD=∠CAF+∠CBD=∠FBC+∠CBD，即∠FDB=∠FBD，
∴BF=FD；
（3）在△BFE和△AFB中，∠EBF=∠FAC=∠BAF，∠BFE=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB，
∴

BF

FE

=

AF

BF

，即BF²=FE•FA，
∴FA=

BF2

FE

=

81

5

，
則AD=

81

5

-9=

36

5

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．