Question

如圖，⊙M過坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別交兩坐標(biāo)軸于A（1，O），B（0，2）兩點(diǎn)，直線CD交x軸于點(diǎn)C（6，0），交y軸于點(diǎn)D（0，3），過點(diǎn)O作直線OF，分別交⊙M于點(diǎn)E，交直線CD于點(diǎn)F．
（1）∠CDO=∠BAO；
（2）求證：OE•OF=OA•OC；
（3）若OE=

3

2

2

，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）利用tan∠CDO=cot∠BAO求出∠CDO=∠BAO，
（2）連接AE，圓周角相等得出△OCF∽△OEA．再利用比例式求證．
（3）先求出OF的長(zhǎng)度，再利用方程組求出交點(diǎn)，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：
證明：（1）如圖：
∵C（6，0），D（0，3），
∴tan∠CDO=

OC

OD

=

6

3

=2，
∵A（1，O），B（0，2），
tan∠BAO=

OB

OA

=2，
∴∠CDO=∠BAO，
（2）如圖，連接AE，

由（1）知∠CDO=∠BAO，
∴∠OCD=∠OBA，
∵∠OBA=∠OEA，
∴∠OCD=∠OEA，
∴△OCF∽△OEA，
∴

OE

OC

=

OA

OF

∴OE•OF=OA•OC；
（3）由（2）得OE•OF=OA•OC，
∵OA=1，0C=6，OE=

3 2

2

，
∴OF═

OA•OC

OE

=

1×6

3 2 2

=2

2

設(shè)F（x，y）
∴x²+y²=8，
∵直線CD的函數(shù)式為：y=-

1

2

x+3
∴組成的方程組為

x2+y2=8 y=- 1 2 x+3

，
解得

x=2 y=2

或

x= 2 5 y= 14 5

∴F的坐標(biāo)為：（2，2）或（

2

5

，

14

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用圓周角相等得出△OCF∽△OEA．