Question

4．兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，AB=25，CD=17．保持紙片AOB不動(dòng)，將紙片COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）角度，如圖2所示．
（1）利用圖2證明AC=BD且AC⊥BD；
（2）當(dāng)BD與CD在同一直線上（如圖3）時(shí)，求AC的長(zhǎng)和α的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，延長(zhǎng)BD交OA于G，交AC于E，只要證明△AOC≌△BOD即可解決問(wèn)題．
（2）如圖3中，設(shè)AC=x，在RT△ABC中，利用勾股定理求出x，再根據(jù)sinα=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖2中，延長(zhǎng)BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
∵∠DBO+∠GOB=90°，
∵∠OGB=∠AGE，
∴∠CAO+∠AGE=90°，
∴∠AEG=90°，
∴BD⊥AC．

（2）解：如圖3中，設(shè)AC=x，

∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
∴x²+（x+17）²=25²，
解得x=7，
∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，
∴∠α=∠ABC，
∴sinα=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{7}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，第二個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)論解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．