Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線，y=x²+bx+c經過A，B兩點，拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是Rt△ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；
（3）若在拋物線的對稱軸上恰好存在唯一的點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；請確定此時點E的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）先根據OA=1，OC=4，得到點A坐標為（-1，0），點B坐標為（4，5），再根據待定系數法得到拋物線的解析式；
（2）根據待定系數法得到直線AB的解析式，設點E（t，t+1）．則F（t，t²-2t-3），-1＜t＜4，根據兩點間的距離公式得到EF=-（t-

3

2

）²+

25

4

，從而得到線段EF的長度最大時點E的坐標；
（3）分兩種情況：①當1＜t＜4時；②當-1＜t＜1時；進行討論可得點E的坐標．

解答：解：（1）∵OA=1，OC=4，
∴點A坐標為（-1，0），點B坐標為（4，5），
將點A坐標和點B坐標代入拋物線的解析式，可得

1-b+c=0 16+4b+c=5

，
解得

b=-2 c=-3

．
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）∵直線AB經過點A（-1，0），B（4，5），
∴直線AB的解析式為y=x+1．
設點E（t，t+1）．則F（t，t²-2t-3），-1＜t＜4，
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-t²+3t+4=-（t-

3

2

）²+

25

4

，
∴當t=

3

2

時，EF的最大值為

25

4

．
∴點E的坐標為（

3

2

，

5

2

）．

（3）若在拋物線的對稱軸上恰好存在唯一的點P．使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形．則以EF為直徑的圓必與拋物線的對稱軸相切．
①當1＜t＜4時，

t-1=

-t2+3t+4

2

，
解得t=3．
此時點E的坐標為（3，2）．
②當-1＜t＜1時

1-t=

-t2+3t+4

2

，
解得t=

5- 33

2

，
此時點E的坐標為（

5- 33

2

，

7- 33

2

）．
綜上，點E的坐標為（3，4）和（

5- 33

2

，

7- 33

2

）．

點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求拋物線的解析式，待定系數法求直線的解析式，兩點間的距離公式，函數最值問題，分類思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．