Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)A，C，D均在坐標(biāo)系軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．過點(diǎn)A，C，D的拋物線為y₁=ax²+bx+c，
（1）求拋物線y₁=ax²+bx+c的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直線AB的表達(dá)式為y₂=mx+n，且AB與y₁的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）拋物線y₁=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為Q，在直線AE的下方，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S_△AQE=S_△APE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由y₁=ax²+bx+c得出C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），根據(jù)DC=AD=5列出方程求出c的值，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，將A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁=ax²+bx+c，通過待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；
（2）首先由A、B的坐標(biāo)確定直線AB的解析式，再求出直線AB與拋物線解析式的兩個(gè)交點(diǎn)，然后通過觀察圖象找出拋物線y₁在直線y₂圖象下方時(shí)對應(yīng)的自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)S_△AQE=S_△APE時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式可知點(diǎn)P為經(jīng)過點(diǎn)Q且與直線AB平行的直線上與拋物線的交點(diǎn)．

解答：解：（1）∵拋物線y₁=ax²+bx+c過y軸上的點(diǎn)C，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．
∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)D（3，0），
∴DC=AD=5，
∴3²+c²=5²，
∴c=±4（負(fù)值舍去），
∴C（0，-4）．
∵拋物線y₁=ax²+bx+c過點(diǎn)A，C，D，
∴

4a-2b+c=0 c=-4 9a+3b+c=0

，
解得

a= 2 3 b=- 2 3 c=-4

．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AD=5，BC∥AD，
∵C（0，-4），
∴B（-5，-4）．
將A（-2，0）、B（-5，-4）代入y₂=mx+n，
得

-2m+n=0 -5m+n=-4

，
解得

m= 4 3 n= 8 3

．
∴直線AB的解析式為y₂=

4

3

x+

8

3

．
由（1）得：y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4．
則

y= 2 3 x2- 2 3 x-4 y= 4 3 x+ 8 3

，
解得：

x1=-2 y1=0

，

x2=5 y2= 28 3

，
由圖可知：當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，-2＜x＜5；

（3）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)Q且與直線AB平行的直線為y=

4

3

x+t．
∵y₁=

2

3

x²-

2

3

x-4=

2

3

（x²-x+

1

4

）-

1

6

-4=

2

3

（x-

1

2

）²-

25

6

，
∴頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

1

2

，-

25

6

）．
將Q（

1

2

，-

25

6

）代入y=

4

3

x+t，得

4

3

×

1

2

+t=-

25

6

，
解得t=-

29

6

，
∴y=

4

3

x-

29

6

．
由

y= 4 3 x- 29 6 y= 2 3 x2- 2 3 x-4

，
解得

x1= 1 2 y1=- 25 6

，

x2= 5 2 y2=- 3 2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，-

3

2

）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，菱形的性質(zhì)，三角形的面積，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法．綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．