Question

已知拋物線y=ax²+bx+x（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（x₁，0），拋物線的頂點(diǎn)為P．
（Ⅰ）若點(diǎn)P（-1，-3），求拋物線的解析式；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（-1，k），k＞0，點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)QB+QP的最小值等于5時(shí)，求拋物線的解析式和Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)M（m，-a），a＞0，求x₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（Ⅰ）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）²-3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出a的值，繼而確定此拋物線的解析式；
（Ⅱ）設(shè)頂點(diǎn)P（-1，k）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'，則P'（1，k），當(dāng)直線BP′與y軸的交點(diǎn)為Q時(shí)，QB+QP取得最小值，由最小值為5，在Rt△BHP'中求出HP'的長，得出P點(diǎn)坐標(biāo)后可確定拋物線解析式，求出直線BP'的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅲ）首先求出x=-1-

b

a

，進(jìn)而利用當(dāng)x₁＞1時(shí)，-

b

2a

＞1＞0，當(dāng)x₁＜1時(shí)，-

b

2a

＜1，分別得出答案．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線頂點(diǎn)P（-1，-3），
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²-3，
將A（1，0）代入可得：0=4a-3，
解得：a=

3

4

，
故拋物線的解析式為y=

3

4

（x+1）²-3=

3

4

x²+

3

2

x-

9

4

；

（Ⅱ）如圖，∵拋物線的對稱軸為x=-1，且經(jīng)過A（1，0），
∴B（-3，0），
設(shè)頂點(diǎn)P（-1，k）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'，則P'（1，k），
當(dāng)直線BP′與y軸的交點(diǎn)為Q時(shí)，QB+QP取得最小值，
過點(diǎn)P′作P′H⊥y軸的交點(diǎn)為H，由B（-3，0），P′（1，k），得BH=4，
在Rt△BHP′中，HP′=

BP′2-BH2

=

52-42

=3，
由k＞0得k=3，
∴P（-1，3），
設(shè)y=a（x+1）²+3，把點(diǎn)A（1，0）代入得：0=4a+3，
解得：a=-

3

4

，
∴y=-

3

4

（x+1）²-3，
故可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），
設(shè)直線BP'的解析式為：y=kx+b，
將點(diǎn)B（-3，0）、點(diǎn)P'（1，3）代入可得：

-3k+b=0 k+b=3

，
解得：

k= 3 4 b= 9 4

，
故直線BP'的解析式為：y=

3

4

x+

9

4

，
令x=0，則y=

9

4

，
故Q的坐標(biāo)為（0，

9

4

）；

（Ⅲ）方法一：
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），
∴a+b+c=0，
即c=-（a+b），
∴y=ax²+bx+c=ax²+bx-a-b=（x-1）（ax+a+b）
∴x=-1-

b

a

，
∵a＞0，又拋物線過點(diǎn)M（m，-a），
∴點(diǎn)M（m，-a）在x軸下方，
即-a≥

4ac-b2

4a

，
∴-4a²≥-4a（a+b）-b²，∴b（b+4a）≥0，
當(dāng)x₁＞1時(shí)，-

b

2a

＞1＞0，
∵a＞0，∴b＜0，
∴b+4a≤0，
∴-

b

a

≥4，
∴x₁=-1-

b

a

≥3，
當(dāng)x₁＜1時(shí)，-

b

2a

＜1，
∵a＞0，∴-b＜2a，
∴b+2a＞0，
∴b+4a＞0，∴b≥0，
∴-

b

a

≤0，
∴x₁=-1-

b

a

≤-1，
綜上所述，x₁≥3或x₁≤-1．
方法二：設(shè)y=a（x-1）（x-x₁），
又∵拋物線過點(diǎn)M（m，-a），∴a（m-a）（m-x₁）=-a，
∴（m-1）（m-x₁）=-1，
即m²-（x₁+1）m+（x₁+1）=0，
△=[-（x₁+1）]²-4（x₁+1）≥0，
（x₁+1）（x₁-3）≥0，
故x₁≥3或x₁≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、軸對稱求最短路徑及勾股定理的知識(shí)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及方程思想的綜合運(yùn)用，難度較大．