Question

如圖所示，AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，P在BA的延長(zhǎng)線上，過P作半圓的切線PM，M是切點(diǎn)，弦MN∥AB，OH⊥MN，H為垂足，若OH=4，MN=6，求：
（1）直徑AB的長(zhǎng)；
（2）AP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OM，如圖，由OH⊥MN，根據(jù)垂徑定理得MH=

1

2

MN=3，然后在Rt△OHM中利用勾股定理可計(jì)算出OM=5，則AB=10；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)∠OMP=90°，再證明Rt△POM∽R(shí)t△OMH，利用相似比可計(jì)算出PO，然后利用PA=OP-OA求解．

解答：解：（1）連接OM，如圖，
∵OH⊥MN，
∴MH=NH=

1

2

MN=3，
在Rt△OHM中，∵OH=4，MH=3，
∴OM=

OH2+MH2

=5，
∴AB=10；
（2）∵PM為⊙O的切線，
∴OM⊥PM，
∴∠OMP=90°，
∵M(jìn)N∥AB，
∴∠POM=∠OMH，
∴Rt△POM∽R(shí)t△OMH，
∴

PO

OM

=

OM

MH

，即

PO

5

=

5

3

，
∴PO=

25

3

，
∴PA=OP-OA=

25

3

-5=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．