Question

15．如圖，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P為BC邊上一動點，PG⊥AC于點G，PH⊥AB于點H．
（1）求證：四邊形AGPH是矩形；
（2）在點P在運動過程中，GH是否存在最小值？若存在，請求出，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“矩形的定義”證明結(jié)論；
（2）連結(jié)AP．當(dāng)AP⊥BC時AP最短，結(jié)合矩形的兩對角線相等和面積法來求GH的值．

解答 （1）證明∵AC=9  AB=12  BC=15，
∴AC²=81，AB²=144，BC²=225，
∴AC²+AB²=BC²，
∴∠A=90°．
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP=∠AHP=90°，
∴四邊形AGPH是矩形；

（2）存在．理由如下：
連結(jié)AP．
∴GH=AP．
∵當(dāng)AP⊥BC時AP最短．
∴9×12=15•AP．
∴AP=$\frac{36}{5}$．

點評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)．解答（2）題時，注意“矩形的對角線相等”和“面積法”的正確應(yīng)用．