Question

【題目】如圖，某廣場設(shè)計的一建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)O落在水平面上，對稱軸是水平線OC．點(diǎn)A、B在拋物線造型上，且點(diǎn)A到水平面的距離AC=4米，點(diǎn)B到水平面距離為2米，OC=8米．

（1）請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）為了安全美觀，現(xiàn)需在水平線OC上找一點(diǎn)P，用質(zhì)地、規(guī)格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對拋物線造型進(jìn)行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最省（支柱與地面、造型對接方式的用料多少問題暫不考慮）時的點(diǎn)P？（無需證明）

（3）為了施工方便，現(xiàn)需計算出點(diǎn)O、P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時點(diǎn)O、P之間的距離是多少？（不寫求解過程）

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)解析式為：y=x2；

（2）找法見解析

（3）兩根支柱用料最省時，點(diǎn)O、P之間的距離是4米．

【解析】

（1）根據(jù)題意可以建立合適的平面直角坐標(biāo)系，從而可以求得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最多，作出相應(yīng)的圖形，寫出作法即可；

（3）根據(jù)前面的坐標(biāo)系和拋物線解析式可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形相似可以求得兩根支柱用料最省時點(diǎn)O、P之間的距離，注意此處只寫出答案即可．

解：（1）如圖，

以點(diǎn)O為原點(diǎn)、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2，

由題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）．

∵點(diǎn)A在拋物線上，

∴8=a×42，

解得a=，

∴所求拋物線的函數(shù)解析式為：y=x2；

（2）找法：

延長AC，交建筑物造型所在拋物線于點(diǎn)D，

則點(diǎn)A、D關(guān)于OC對稱．

連接BD交OC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．

（3）如上圖，由題意知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，

∵點(diǎn)B在拋物線上，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，8），

設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+b，

∴，

解得：k=﹣1，b=4．

∴直線BD的函數(shù)解析式為y=﹣x+4，

把x=0代入y=﹣x+4，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），

兩根支柱用料最省時，點(diǎn)O、P之間的距離是4米．