Question

如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AD是BC邊上的高，BE是角平分線，且交AD于P．
（1）求證：AE=AP．
（2）如果角∠C=30°，AE=1，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠ABE=∠PBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，等式的性質(zhì)，可得∠AEB與∠BPD的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)度，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得答案．

解答：（1）證明：∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠PBD．
∵AD是BC邊上的高，
∠PDB=90°．
∵∠AEB、∠A、∠ABE是△ABE的內(nèi)角，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-90°-∠ABE=90°-∠ABE，
∵∠BPD、∠PDB、∠PBD是△PBD的內(nèi)角，
∴∠BPD=180°-∠PDB-∠PBD=180°-90°-∠PBD=90°-∠PBD，
∴∠AEB=∠BPD．
∵∠APE與∠BPD是對(duì)頂角，
∴∠APE=∠AEP，
AE=AP；
（2）解：∠C=30°，
∴∠ABC=60°，．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=30°，．
∵AE=1，
∴BE=2AE=2，
由勾股定理，得
AB=

22-12

=

3

．
tan∠ABC=tan 60°=

AC

AB

=

3

，
AC=

3

AB=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，題目稍有難度．