Question

3．如圖（1），等邊三角形ABC的邊長為8，點P由點B開始沿BC以每秒1個單位長的速度作勻速運動，到點C后停止運動；點Q由點C開始沿C-A-B以每秒2個單位長的速度作勻速運動，到點B后停止運動．若點P，Q同時開始運動，運動的時間為t（秒）（t＞0）．求當點P、Q運動時，△PCQ的面積S與t的函數(shù)關系式，并指出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 分兩種情況討論：①當0＜t≤4時，作QD⊥BC于D，則BP=t，PC=8-t，CQ=2t，在Rt△CDQ中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到DC的長，利用三角形面積公式即可得出結(jié)論；
②當4≤t≤8，作QD⊥BC于D，則BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，BQ=16-2t，在Rt△BDQ中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BD=BQ，QD=BD，然后根據(jù)三角形面積公式得到S的表達式．

解答 解：①當點Q在CA上運動時，即0＜t≤4時，作QD⊥BC于D，如圖1，
BP=t，PC=8-t，CQ=2t，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°，
在Rt△CDQ中，DC=$\frac{1}{2}$CQ=t，
∴QD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$QD•PC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$t•（8-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t，
即△PCQ的面積S與t的函數(shù)關系式為S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t（0＜t≤4）；
②當點Q在AB上運動時，即4≤t≤8，作QD⊥BC于D，如圖2，
BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，則BQ=16-2t，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BDQ中，BD=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{1}{2}$（16-2t）=8-t，
∴QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$（8-t），
∴S=$\frac{1}{2}$QD•PC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$（8-t）•（8-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-8$\sqrt{3}$t+32$\sqrt{3}$，
即△PCQ的面積S與t的函數(shù)關系式為S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-8$\sqrt{3}$t+32$\sqrt{3}$（4≤t≤8）．

點評 本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，在解答此題時要注意分兩種情況進行討論，同時要作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形求解．