Question

20．問題原型：如圖①，在矩形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$BC=a，點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′E，易得△BA′E的面積為$\frac{1}{2}{a}^{2}$．
初步探究：如圖②，在Rt△ABC中，BC=a，∠ACB=90°，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，用含a的代數(shù)式表示△BCE的面積，并說明理由．
簡(jiǎn)單應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=6，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，直接寫出△BCE的面積．

Answer 1

分析 初步探究：作EF⊥BC于F，如圖2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=EB，∠ABE=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠A=∠EBF，則可根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△BEF，所以BC=EF=a，然后根據(jù)三角形面積公式可得到S_△BCE═$\frac{1}{2}$a²；
簡(jiǎn)單應(yīng)用：作AH⊥BC于H，連結(jié)EH，如圖3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，然后利用探究的結(jié)論得到S_△BEH=$\frac{1}{2}$BH²=$\frac{9}{2}$，于是有S_△BCE=2S_△BEH=9．

解答 解：初步探究：△BCE的面積為$\frac{1}{2}$a²．理由如下：
作EF⊥BC于F，如圖2，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，
∴AB=EB，∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠EBF=90°，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠EBF，
在△ABC和△BEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFB}\\{∠A=∠EBF}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BEF，
∴BC=EF=a，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$a²；
簡(jiǎn)單應(yīng)用：作AH⊥BC于H，連結(jié)EH，如圖3，
∵AB=AC，
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，
∴S_△BEH=$\frac{1}{2}$BH²=$\frac{9}{2}$，
∴S_△BCE=2S_△BEH=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形．