Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+42交x軸于點A，交直線y=x于點B．拋物線y=ax²-2x+c分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點P在這條拋物線上．
（1）求a、c的值．
（2）若Q為線段OB上一點，且P、Q兩點的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長．
（3）若Q為線段OB或線段AB上的一點，PQ⊥x軸．設(shè)P、Q兩點之間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標(biāo)為m，求d隨m的增大而減小時m的取值范圍．
（4）若min{y₁，y₂，y₃}表示y₁，y₂，y₃三個函數(shù)中的最小值，則函數(shù)y=min{-2x+42，x，ax²-2x+c}的最大值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點C和點D的橫坐標(biāo)16和4分別代入函數(shù)可得C（16，10），D（4，4），再根據(jù)待定系數(shù)法可得a、c的值；
（2）先求出點Q的坐標(biāo)，點P的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)點P在點Q左側(cè)時；②當(dāng)點P在點Q右側(cè)時，根據(jù)兩點之間的距離公式可得線段PQ的長為2

6

-3或2

6

+3；
（3）觀察圖象可知，當(dāng)0≤m＜4或14≤m＜16時，d隨m的增大而減小，當(dāng)12≤m≤14時，d隨m的增大而減小，依此即可求解；        
（4）找到兩個函數(shù)交點的縱坐標(biāo)，得到其中最大的y值即為所求．

解答：解：（1）∵在y=-2x+42中，當(dāng)x=16時，y=10，
在y=x中，當(dāng)x=4時，y=4；
∴C（16，10），D（4，4）
∵拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過點C、D，
∴

256a-32+c=10 16a-8+c=4

，
解得

a= 1 8 c=10

∴a的值為

1

8

，c的值為10；
（2）在y=x中，當(dāng)y=5時，x=5，
∴點Q的橫坐標(biāo)為5
由（1）知，拋物線的解析式為y=

1

8

x²-2x+10，
當(dāng)y=5時，

1

8

x²-2x+10=5，解得x=8±2

6

∴點P的橫坐標(biāo)為8±2

6

．                                     
①當(dāng)點P在點Q左側(cè)時，線段PQ的長為5-（8-2

6

）=2

6

-3，
②當(dāng)點P在點Q右側(cè)時，線段PQ的長為（8+2

6

）-5=2

6

+3，
∴線段PQ的長為2

6

-3或2

6

+3；
（3）令-2x+42=x，
解得x=14，即點B的橫坐標(biāo)為14
觀察圖象可知，當(dāng)0≤m＜4或14≤m＜16時，d隨m的增大而減小，
當(dāng)4＜m≤14時，d=x-（

1

8

x²-2x+10）=-

1

8

x²+3x-10=-

1

8

（x-12）²+8
由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，當(dāng)12≤m≤14時，d隨m的增大而減小，
綜上所述，當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減��；
（4）∵C（16，10），
∴函數(shù)y=min{-2x+42，x，ax²-2x+c}的最大值為10．     
故答案為：10．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求拋物線解析式，分類思想的應(yīng)用，兩點之間的距離公式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性，函數(shù)最值問題，綜合性較強，有一定的難度．