Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

1

2

x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=-

1

2

x2-

3

2

x+2．點(diǎn)C為線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)DE=2時(shí)，求四邊形CAEB的面積；
（2）若直線CE移動(dòng)到拋物線的對(duì)稱軸位置，點(diǎn)P、Q分別為直線CE和x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求△BPQ周長(zhǎng)的最小值；
（3）連接BE，是否存在點(diǎn)C，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點(diǎn)C坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-因式分解法,拋物線與x軸的交點(diǎn),兩點(diǎn)間的距離,勾股定理,勾股定理的逆定理,矩形的判定與性質(zhì),軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,相似三角形的判定

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，然后用m的代數(shù)式表示DE，根據(jù)條件DE=2可求出m，代入拋物線的解析式就可求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，就可求出四邊形CAEB的面積．
（2）過(guò)點(diǎn)B作CE的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B作x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接PB′、QB″、B′B″，如圖2，則△BPQ的周長(zhǎng)=PB+PQ+QB=PB′+PQ+QB″．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得：當(dāng)B′、P、Q、B″共線時(shí)，△BPQ的周長(zhǎng)最小，最小值等于B′B″的長(zhǎng)，只需運(yùn)用勾股定理就可解決問(wèn)題．
（3）由于△DBE和△DAC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故需分情況討論：若∠BED=∠ACD=90°，如圖3，易證四邊形COBE是矩形，從而有CO=BE，則-

1

2

x²-

3

2

x+2=2，解這個(gè)方程就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；若∠EBD=∠ACD=90°，可以證到點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，與條件矛盾，故該情況不存在．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，
由CD⊥x軸得：x_E=x_D=m．
則有y_E=-

1

2

m²-

3

2

m+2，y_D=

1

2

m+2．
則DE=y_E-y_D=（-

1

2

m²-

3

2

m+2）-（

1

2

m+2）=2．
解得：m₁=m₂=-2．
則y_E=-

1

2

×（-2）²-

3

2

×（-2）+2=3．
由

1

2

x+2=0得x=-4，則A（-4，0），OA=4．
則S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_△BCE
=

1

2

CE•AO=

1

2

×3×4=6．

（2）過(guò)點(diǎn)B作CE的對(duì)稱點(diǎn)B′，作x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接PB′、QB″、B′B″，如圖2，
則點(diǎn)B′必在拋物線上，且y_B′=y_B，OB″=OB，PB′=PB，QB″=QB．
則△BPQ的周長(zhǎng)=PB+PQ+QB=PB′+PQ+QB″．
根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得：
當(dāng)B′、P、Q、B″共線時(shí)，△BPQ的周長(zhǎng)最小，最小值等于B′B″的長(zhǎng)．
當(dāng)x=0時(shí)，y=

1

2

×0+2=2，則點(diǎn)B（0，2）．
則有OB″=2．
解方程-

1

2

x²-

3

2

x+2=2得：x₁=0，x₂=-3．
則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-3，2）．
在Rt△BB′B″中，
∵∠B′BB″=90°，BB′=3，BB″=2+2=4，
∴B′B″=5．
∴△BPQ的周長(zhǎng)的最小值為5．

（3）存在點(diǎn)C，使得△DBE和△DAC相似．
①若∠BED=∠ACD=90°，如圖3，
由∠EDB=∠CDA得△DBE∽△DAC．
此時(shí)∠BEC=∠ECO=∠COB=90°．
則四邊形COBE是矩形．
則CO=BE．
解方程-

1

2

x²-

3

2

x+2=2得：x₁=0，x₂=-3．
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，2）．
則CO=BE=3，點(diǎn)C（-3，0）．
②若∠EBD=∠ACD=90°，
如圖4，這種情況不存在．
理由如下：
假設(shè)拋物線上點(diǎn)E滿足∠EBD=90°，
解方程-

1

2

x²-

3

2

x+2=0得：x₁=1，x₂=-4．
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）．
∵AB²=4²+2²=20，BF²=2²+1²=5，AF²=[1-（-4）]²=25，
∴AB²+BF²=AF²．
∴∠ABF=90°．
∴點(diǎn)E在點(diǎn)F處，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，
與條件“點(diǎn)C為線段AO上一動(dòng)點(diǎn)”矛盾，故不存在．
綜上所述：存在點(diǎn)C，使得△DBE和△DAC相似，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、勾股定理及其逆定理、兩點(diǎn)之間線段最短、軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題、相似三角形的判定、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．