Question

如圖，⊙C的內(nèi)接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（4，0）與點（-2，6）
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D，動點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，當PQ⊥AD時，求運動時間t的值；
（3）將拋物線向上平移k個單位（k可以為負數(shù)，即向下平移-k個單位）若平移后的拋物線與四邊形ODAB的四邊恰好只有兩個公共點時，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解析式即可；
（2）連接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，進而求出OD，OF的長，進而利用勾股定理得出DF的長；
（3）利用拋物線y=

1

2

x²-2x+k與直線AD只有一個公共點，利用一元二次方程根的判別式得出k的值，再利用拋物線y=

1

2

x²-2x+k與直線OB只有一個公共點得出k的值，進而得出k的取值范圍，若拋物線y=

1

2

x²-2x+k過D（0，-3）點，則k=-3，進而得出k的取值范圍．

解答：解：（1）將點A（4，0）和點（-2，6）的坐標代入y=ax²+bx中，得方程組，

16a+4b=0 4a-2b=6

解得

a= 1 2 b=-2

，
故拋物線的解析式為y=

1

2

x²-2x．

（2）如圖所示，連接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，
∵直線m切⊙C于點A，
∴AC⊥m．
∵弦AB=AO，
∴

OA

=

AB

．
∴AC⊥OB，
∴m∥OB．
∴∠OAD=∠AOB．
又∵PQ⊥AD，
∴四邊形OFQP是矩形，
∵OA=4，tan∠AOB=

3

4

，
∴OD=OA•tan∠OAD=4×

3

4

=3．
則OF=OA•sin∠OAD=4×

3

5

=2.4．
t秒時，OP=t，DQ=2t，
若PQ⊥AD，則 FQ=OP=t．DF=DQ-FQ=t．
∴△ODF中，t=DF=

OD2-OF2

=1.8（秒）；

（3）∵原拋物線為y=

1

2

x²-2x，
∴平移后的拋物線為：y=

1

2

x²-2x+k，
∵A（4，0），D（0，-3），
設直線AD的解析式為y=ex+d
則

4e+d=0 d=-3

，
解得：

e= 3 4 d=-3

故直線AD的解析式為y=

3

4

x-3，
若拋物線y=

1

2

x²-2x+k與直線AD只有一個公共點，則由

y= 3 4 x-3 y= 1 2 x2-2x+k

，
得：

1

2

x²-

11

4

x+k+3=0，
故△=（

11

4

）²-4×

1

2

（k+3）=0，
解得：k=

25

32

，
若拋物線y=

1

2

x²-2x+k與直線OB只有一個公共點，則
由

y= 3 4 x y= 1 2 x2-2x+k

，得

1

2

x²-

11

4

x+k=0，
故△=（

11

4

）²-4×

1

2

k=0，
解得：k=

121

32

，
若拋物線y=

1

2

x²-2x+k過D（0，-3）點，則k=-3，
綜上所述，當平移后的拋物線與四邊形ODAB的四邊恰好只有兩個公共點時，
實數(shù)k的取值范圍是：

25

32

＜k＜

121

32

或-3＜k＜0．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及垂徑定理的推論和勾股定理等知識，根據(jù)切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關系得出OF的長是解題關鍵．