Question

如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=3，點(diǎn)P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)（P異于A，D），Q是BC邊上的任意一點(diǎn)連AQ，DQ，過(guò)P作PE∥DQ，交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
①求證：△APE∽△ADQ．
②設(shè)AP的長(zhǎng)為x，試求△PEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)Q在何處時(shí)，△ADQ的周長(zhǎng)最小？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)PE∥QD得出兩三角形相似．
（2）根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比得平方及S_△PEF=

1

2

S_{平行四邊形PEQF}，列出式子求出△PEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）△ADQ中，AD長(zhǎng)為定值，因此要使△ADQ的周長(zhǎng)最小，AQ+QD需最小，可根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短為依據(jù)來(lái)確定Q點(diǎn)的位置．

解答：（1）證明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；
（2）解：同（1）可證△APE∽△ADQ，
△PDF∽△ADQ，
S_△PEF=

1

2

S_{平行四邊形PEQF}，
設(shè)AP的長(zhǎng)為x，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比得平方，
∴

S△AEP

S△AQD

=(

x

3

)2，

S△DPF

S△ADQ

=(

3-x

3

)2，
∵S_△AQD=

1

2

AD×AB=

1

2

×3×2=3，
得S_△PEF=

1

2

S_{平行四邊形PEQF}
=

1

2

（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP），
=

1

2

×[3-(

x

3

)2×3-(

3-x

3

)2×3]，
=

1

2

（-

2

3

x²+2x），
=-

1

3

x²+x
∴y=-

1

3

x²+x．
（3）解：如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連DA′交BC于Q，則這個(gè)點(diǎn)Q就是使△ADQ周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，

∵BQ∥AD，點(diǎn)B為AA′中點(diǎn)，
∴BQ為△A′AD的中位線，
此時(shí)Q是BC的中點(diǎn)，
最小周長(zhǎng)為AD+A′D=3+

AA′2+AD2

=3+

42+32

=3+5=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法、矩形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是運(yùn)用面積比等于相似比的平方．