【題目】如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,P是BC邊上一點,△PAD的面積為 ,設AB=x,AD=y
(1)求y與x的函數(shù)關系式;
(2)若∠APD=45°,當y=1時,求PBPC的值;
(3)若∠APD=90°,求y的最小值.
【答案】
(1)
解:如圖1,過A作AE⊥BC于點E,
在Rt△ABE中,∠B=45°,AB=x,
∴AE=ABsinB= x,
∵S△APD= ADAE= ,
∴ y x= ,
則y=
(2)
解:∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,∠APD=∠B=45°,
∴∠BAP=∠CPD,
∵四邊形ABCD為等腰梯形,
∴∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
∴ = ,
∴PBPC=ABDC=AB2,
當y=1時,x= ,即AB= ,
則PBPC=( )2=2
(3)
解:如圖2,取AD的中點F,連接PF,
過P作PH⊥AD,可得PF≥PH,
當PF=PH時,PF有最小值,
又∵∠APD=90°,
∴PF= AD= y,
∴PH= y,
∵S△APD= ADPH= ,
∴ y y≥ ,即y2≥2,
∵y>0,
∴當取“=“時,y取最小值 ,
則y的最小值為
【解析】(1)如圖1,過A作AE垂直于BC,在直角三角形ABE中,由∠B=45°,AB=x,利用銳角三角函數(shù)定義表示出AE,三角形PAD的面積以AD為底,AE為高,利用三角形面積公式表示出,根據(jù)已知的面積即可列出y與x的函數(shù)關系式;(2)根據(jù)∠APC=∠APD+∠CPD,以及∠APC為三角形ABP的外角,利用外角性質得到關系式,等量代換得到∠BAP=∠CPD,再由四邊形ABCD為等腰梯形,得到一對底角相等及AB=CD,可得出三角形ABP與三角形PDC相似,由相似得比例,將CD換為AB,由y的值求出x的值,即為AB的值,即可求出PBPC的值;(3)取AD的中點F,過P作PH垂直于AD,由直角三角形PF大于等于PH,當PF=PH時,PF最小,此時F與H重合,由三角形APD為直角三角形,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF等于AD的一半,表示出PF即為PH,三角形APD面積以AD為底,PH為高,利用三角形面積公式表示出三角形APD面積,由已知的面積求出y的值,即為最小值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外角的相關知識,掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角,叫三角形的外角;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角,以及對等腰梯形的性質的理解,了解等腰梯形的兩腰相等;同一底上的兩個角相等;兩條對角線相等.
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【題目】如圖,已知雙曲線 , ,點P為雙曲線 上的一點,且PA⊥x軸于點A,PB⊥y軸于點B,PA、PB分別依次交雙曲線 于D、C兩點,則△PCD的面積為 .
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【題目】如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,過點D作DE∥AB交BC于點E,若AD=3,BC=10,則CD的長是________。
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【題目】如圖,拋物線y= (x﹣3)2﹣1與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)求點A,B,D的坐標;
(2)連接CD,過原點O作OE⊥CD,垂足為H,OE與拋物線的對稱軸交于點E,連接AE,AD,求證:∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的點E為圓心,1為半徑畫圓,在對稱軸右側的拋物線上有一動點P,過點P作⊙E的切線,切點為Q,當PQ的長最小時,求點P的坐標,并直接寫出點Q的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(2,0),等邊三角形AOC經過平移或軸對稱或旋轉都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是___個單位長度;△AOC與△BOD關于直線對稱,則對稱軸是___;△AOC繞原點O順時針旋轉得到△DOB,則旋轉角度可以是___度;
(2)連結AD,交OC于點E,求∠AEO的度數(shù)。
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【題目】如圖,從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30°、45°,如果此時熱氣球C處的高度CD為100米,點A、D、B在同一直線上,則AB兩點的距離是( )
A.200米
B.200 米
C.220 米
D.100( +1)米
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【題目】甲乙兩地相距50千米.星期天上午8:00小聰同學在父親陪同下騎山地車從甲地前往乙地.2小時后,小明的父親騎摩托車沿同一路線也從甲地前往乙地,他們行駛的路程y(千米)與小聰行駛的時間x(小時)之間的函數(shù)關系如圖所示,小明父親出發(fā) 小時時,行進中的兩車相距8千米.
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【題目】德國科學家貝塞爾推算出天鵝座第顆暗星距地球,比太陽到地球的距離還遠倍.
用科學記數(shù)法表示出暗星到地球的距離;
用科學記數(shù)法表示出這個數(shù);
如果光的速度大約是,那么你能計算出從暗星發(fā)出的光線到地球需要多少秒嗎?用科學記數(shù)法表示出來.
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【題目】在四邊形中,,,,,是上一點,是延長線上一點,且.
(1)在圖1中,求證:.
(2)在圖1中,若點在上且,試猜想、、之間的數(shù)量關系并證明.
(3)運用(1)(2)解答中所積累的經驗知識,完成下題:如圖2,在四邊形中,,,在上,,且,若,求的長.
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