Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的圖像與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)C在直線上，將拋物線沿射線 AC的方向平移，

當(dāng)頂點(diǎn)C恰好落在y軸上的點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處．

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）求平移過(guò)程中線段BC所掃過(guò)的面積；

（3）已知點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn) C、E、F、G 為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】 (1)拋物線的解析式為;(2)12; (3)滿足條件的點(diǎn)有F1（，0），F(xiàn)2（，0），F(xiàn)3(，0)，F(xiàn)4(，0).

【解析】分析：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程求得b=﹣4a，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得9a+3b+3=0，聯(lián)立方程組，求得系數(shù)的值即可；

（2）拋物線在平移的過(guò)程中，線段BC所掃過(guò)的面積為平行四邊形BCDE的面積，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和三角形的面積得到：∴．

（3）聯(lián)結(jié)CE．分類(lèi)討論：（i）當(dāng)CE為矩形的一邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF1⊥CE，交x軸于點(diǎn)F1，設(shè)點(diǎn)F1（a，0）．在Rt△OCF1中，利用勾股定理求得a的值；

（ii）當(dāng)CE為矩形的對(duì)角線時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交x軸于點(diǎn)F3、F4，利用圓的性質(zhì)解答．

詳解：（1）∵頂點(diǎn)C在直線x=2上，∴，∴b=﹣4a．

將A（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0，解得：a=1，b=﹣4，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸，CN⊥y軸，垂足分別為M、N．

∵y=x2﹣4x+3═（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）．

∵CM=MA=1，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，∴OD=OA=3．

∵拋物線y=x2﹣4x+3與y軸交于點(diǎn)B，∴B（0，3），∴BD=6．

∵拋物線在平移的過(guò)程中，線段BC所掃過(guò)的面積為平行四邊形BCDE的面積，∴．

（3）聯(lián)結(jié)CE．

∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴點(diǎn)O是對(duì)角線CE與BD的交點(diǎn)，即 ．

（i）當(dāng)CE為矩形的一邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF1⊥CE，交x軸于點(diǎn)F1，設(shè)點(diǎn)F1（a，0）．在Rt△OCF1中，，即 a2=（a﹣2）2+5，解得： ，∴點(diǎn)．

同理，得點(diǎn)；

（ii）當(dāng)CE為矩形的對(duì)角線時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交x軸于點(diǎn)F3、F4，可得： ，得點(diǎn)、．

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)有），．