Question

12．對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+（b+1）x+（b-1），若存在實(shí)數(shù)x₀，使得當(dāng)x=x₀，函數(shù)y=x₀，則稱x₀是函數(shù)y的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)y的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)y恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定二次函數(shù)解析式為y=x²-x-3，根據(jù)x₀是函數(shù)y的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的定義，把（x₀，x₀）代入得x₀²-x₀-3=x₀，然后解此一元二次方程即可；
（2）根據(jù)x₀是函數(shù)y的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的定義得到ax₀²+（b+1）x₀+（b-1）=x₀，整理得ax₀²+bx₀+（b-1）=0，則根據(jù)判別式的意義得到△=b²-4a（b-1）＞0，即b²-4ab+4a＞0，把b²-4ab+4a看作b的二次函數(shù)，由于對(duì)任意實(shí)數(shù)b，b²-4ab+4a＞0成立，則（4a）²-4•4a＜0，然后解此不等式即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，二次函數(shù)解析式為y=x²-x-3，
把（x₀，x₀）代入得x₀²-x₀-3=x₀，解得x₀=-1或x₀=3，
所以函數(shù)y的不動(dòng)點(diǎn)為-1和3；
（2）因?yàn)閥=x₀，
所以ax₀²+（b+1）x₀+（b-1）=x₀，
即ax₀²+bx₀+（b-1）=0，
因?yàn)楹瘮?shù)y恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，
所以此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0，
而對(duì)任意實(shí)數(shù)b，b²-4ab+4a＞0成立，
所以（4a）²-4•4a＜0，
解得0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了閱讀理解能力和根的判別式的意義．