【題目】(一)如圖(1),已知圓,點、在圓上,且為等邊三角形,點為直線與圓的一個交點.連接,證明:

(方法遷移)

(二)如圖(2),用直尺和圓規(guī)在矩形內(nèi)作出所有的點,使得(不寫作法,保留作圖痕跡).

(深入探究)

(三)已知矩形,,邊上的點,若滿足的點P恰有兩個,求的取值范圍.

(四)已知矩形,,,為矩形內(nèi)一點,且,若點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點,求的最小值,并求此時的面積.

【答案】1)見詳解;

2)見詳解

32≤m<2+.

4的最小值為-2.,并求此時的面積是.

【解析】

1)根據(jù)圓周角定理即可證明;

2)根據(jù)圓周角定理可知點∠BPC所對弧所對的圓心角等于90°,所以作出一個90°的圓心角即可;

3)由點P要在AD上,且有兩個,故AD應(yīng)與圓O相交,且要在EF的上方,從而先算出臨界值,則m在它們之間.

4)先確定出當A,P,O在同一直線上時,AP取得最小值,從而得出此時PQ取得最小值,畫出圖形,利用勾股定理求解即可.利用相似三角形的性質(zhì)和判定求出的高,再利用三角形的面積計算公式計算即可.

證明:(1)如圖1所示,連接AP,BP.

為等邊三角形,

∴∠AOB=60°.

∵∠APB=∠AOB,

∴∠APB=30°.

解:(2)如圖2所示:點P上即可.

3)由(2)得,要使的點P恰有兩個,則AD與相交,如圖3所示,

①當AD與⊙O相切時,連接OP,并延長POBC相交于Q,

AD與⊙O相切,

∴∠APQ=90°,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠ABQ=90°.

∴∠A=∠ABQ=∠APQ=90°.

∴四邊形ABQP為矩形,

∴PQ=AB=m.

∵△BOC是等腰直角三角形,

∴OQ=BC=,OB=2.

∴PQ=2+.

m<2+.

②當ADEF重合時,

m=BE=BC=2

綜上所述,m的取值范圍為:2m<2+.

(4)如圖4所示:

依題意可知,當A,P,O在同一直線上時,AP有最小值,此時PQ最小.

過點OOHBCH,作OGABG,過點PPMABM,連接OP,OB.

∵∠GBH=90°,

∴四邊形BGOH為矩形,

OG=BH=BC=.

∵∠BPC=120°,

∴∠BOC=120°,

OB=OC,

∴∠OBH=30°.

∴設(shè)OH=x,則OB=2x.

RtOBH

OB2-OH2=BH2,

4x2-x2=()2,

解得:x=1.

OH=1,OB=2.

AB=3,

AG=4.

RtAGO

OA==

AP=-2.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AQ=AP=-2,∠PAQ=90°

根據(jù)勾股定理可求得:PQ==AP=-2.

OGAB,PMAB

PMOG,

=

OG=,AP=-2,OA=

PM=.

的面積=ABPM=3=.

答:的最小值為-2.,并求此時的面積是.

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中位數(shù)

眾數(shù)

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85

85

九⑵班

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