Question

如圖，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G．再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，則EM的長為

 

cm．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：根據矩形的性質得CD=AB=6，AD=BC=8，AD∥BC，由平行線的性質得∠ADB=∠CBD，再利用折疊的性質得到∠CBD=∠C′BD，BC′=BC=8，DC′=DC=6，
則∠GBD=∠GDB，所以GB=GD，設DG=x，則BG=x，AG=8-x，在Rt△ABG中，根據勾股定理得6²+（8-x）²=x²，解得x=

25

4

，則GC′=BC′-BG=

7

4

，然后再根據折疊的性質得EN垂直平分AD，所以∠EMD=90°，DM=

1

2

AD=4，接著證明Rt△DEM∽Rt△DGC′，利用相似比計算EM的長．

解答：解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在點C′的位置，BC′交AD于點G，
∴∠CBD=∠C′BD，BC′=BC=8，DC′=DC=6，
∴∠GBD=∠GDB，
∴GB=GD，
設DG=x，則BG=x，AG=8-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，
∴6²+（8-x）²=x²，解得x=

25

4

，
∴GC′=BC′-BG=8-

25

4

=

7

4

，
∵折疊矩形ABCD一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于點M，
∴EN垂直平分AD，
∴∠EMD=90°，DM=

1

2

AD=4，
∵∠EDM=∠GDC′，
∴Rt△DEM∽Rt△DGC′，
∴

EM

GC′

=

DM

DC′

，即

EM

7 4

=

4

6

，
∴EM=

7

6

．
故答案為

7

6

．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質勾股定理和相似三角形的判定與性質．