Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，四邊形OABC是等腰梯形，其中OA=AB=BC=4，tan∠BCO=

3

．
（1）求經(jīng)過O、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P在第四象限，且△POC∽△AOB相似，求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若⊙P與以O(shè)C為直徑的⊙D相切，請直接寫出⊙P的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）有兩種情況：當(dāng)PO=PC時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)求得∠AOC=∠BCO=60°，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求得∠AOB=∠ABO=30°，然后根據(jù)三角形相似，即可求得∠POC=∠PCO=30°，因?yàn)镺D=4，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PD的長，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)PC=OC時(shí)，通過三角形相似求得∠OPC=∠COP=30°，因?yàn)镺C=PC=8，得出∠PCD=60°，進(jìn)而得出PD=4

3

，CD=4，即可求得P的坐標(biāo)．
（3）如圖①⊙P的半徑就是PD+OD的長，如圖②根據(jù)P的坐標(biāo)先求得OP的長，再通過解三角函數(shù)求得OM、QM的值，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是等腰梯形，其中OA=AB=BC=4，tan∠BCO=

3

，
∴O（0，0），B（6，2

3

），C（8，0），
設(shè)經(jīng)過O、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，則

c=0 36a+6b+c=2 3 64a+8b+c=0

，
解得

a=- 3 6 b= 4 3 3 c=0

．
∴過O、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為：y=-

3

6

x²+

4 3

3

x；

（2）有兩種情況，
如圖1，當(dāng)PO=PC時(shí)，
∵tan∠BCO=

3

，
∴∠AOC=∠BCO=60°，
∠OAB=120°，
∵OA=AB=4，
∴∠AOB=∠ABO=30°，
∵△POC∽△AOB，OA=AB，PO=PC，
∴∠POC=∠PCO=30°
∴P（4，-

4 3

3

），
如圖2，當(dāng)PC=OC時(shí)，
∵△POC∽△AOB，OA=OB，CO=PC，
∴∠OPC=∠COP=30°，
∵OC=PC=8，
∴∠PCD=60°，
∴PD=4

3

，CD=4，
∴P（12，-4

3

）


（3）⊙P的半徑是4+

4 3

3

或4

7

-4；
如圖①，∵PD=

4 3

3

，
∴⊙P的半徑為4+

4 3

3

或4-

4 3

3

．
如圖②，作QM⊥OP，∵∠POC=30°，
∴QM=

1

2

OQ=

1

4

OC=2，OM=2

3

，
∵P（12，-4

3

），
∴OP=8

3

，
∴PM=OP-OM=6

3

，
∴PQ=

PM2+QM2

=4

7

，
∴⊙P的半徑為4

7

-4或4

7

+4．
綜上，⊙P的半徑為4+

4 3

3

或4-

4 3

3

或4

7

-4或4

7

+4．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角函數(shù)值，待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結(jié)合求點(diǎn)的坐標(biāo)以及圓的內(nèi)切和外切的性質(zhì)等．