【題目】正方形ABCD中,E是BC上一點,F是CD延長線上一點,,連接AE,AF,EF,G為EF中點,連接AG,DG.
(1)如圖1:若,,求DG;
(2)如圖2:延長GD至M,使,過M作MN∥FD交AF的延長線于N,連接NG,若.求證:.
【答案】(1)DG=;(2),見解析.
【解析】
(1)取CF的中點H,連接GH;先證明△ABE≌△ADF(SAS),在證明△AEF是等腰直角三角形,由GH是Rt△EFC的中位線,在Rt△DGH中即可求解;
(2)過點G作GK⊥MN,交NM的延長線與點K,交CF于點Q,過點G作GT⊥AF,交AF于點T;設(shè)BE=a,分別求出,,,再由△AFE是等腰直角三角形,G是EF的中點,求出,證明△NGK≌△NGT(HL),則有TN=NK=MN+MK,∠ANG=30°,可求,得到=MN+NA.
解:(1)取CF的中點H,連接GH,
∵BE=DF,AB=AD,∠ADF=∠B=90°,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AF=AE,
∵AB=3,BE=1,
∴AF=AE= ,CF=4,CE=2,
∴EF=2,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∵G為EF中點,CF的中點H,
∴GH是Rt△EFC的中位線,
∴GH=CE=1,
∴FH=2,
∴DH=1,
∴DG=;
(2)過點G作GK⊥MN,交NM的延長線與點K,交CF于點Q,
過點G作GT⊥AF,交AF于點T;
設(shè)BE=a,
在Rt△ABE中,∠BAE=30°,
∴AB=a,AE=2a,
∴CE=(-1)a,
∵DF=BE,
∴CF=(+1)a,
∵△AFE是等腰直角三角形,G是EF的中點,
∴AG=a,
∵G是EF中點,GQ⊥CF,
∴GQ=CE=a,
∴DQ=CD-CF=a,
∴GQ=DQ,
∴∠DGQ=45°,
∴GK=MK,
∴GM=GA,
∴GK=MK=a,
∵∠FAG=45°,
∴GT=a,
∴Rt△NGK≌Rt△NGT(HL),
∴TN=NK=MN+MK,
∠ANG=∠ANK,
∵∠BAE=30°,
∴∠NAD=30°,
∴∠ANK=60°,
∴∠ANG=30°,
,
,
,
,
即.
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【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)當(dāng)m取何值時,方程有兩個不相等的實數(shù)根?
(2)設(shè)x1、x2是方程的兩根,且x12+x22=22+x1x2,求實數(shù)m的值.
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【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀并說明理由.
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【題目】為引導(dǎo)學(xué)生廣泛閱讀文學(xué)名著,某校在七年級、八年級開展了讀書知識競賽.該校七、八年級各有學(xué)生400人,各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查,獲得了他們知識競賽成績(分),并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
七年級:
74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年級:
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50 89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示:
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)______,______,______;
(2)該校對讀書知識競賽成績不少于80分的學(xué)生授予“閱讀小能手”稱號,請你估計該校七、八年級所有學(xué)生中獲得“閱讀小能手”稱號的大約有______人;
(3)結(jié)合以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為哪個年級讀書知識競賽的總體成績較好,說明理由.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠B= 60°.
(1)如圖①.若點E、F分別在邊AB、AD上,且BE=AF,求證:△CEF是等邊三角形.
(2)小明發(fā)現(xiàn),當(dāng)點E、F分別在邊AB、AD上,且∠CEF=60°時,△CEF也是等邊三角形,
并通過畫圖驗證了猜想;小麗通過探索,認(rèn)為應(yīng)該以CE= EF為突破口,構(gòu)造兩個全等三角形:小倩受到小麗的啟發(fā),嘗試在BC上截取BM =BE,并連接ME,如圖②,很快就證明了△CEF是等邊三角形.請你根據(jù)小倩的方法,寫出完整的證明過程.
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【題目】如圖1,平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,A、B(點A在點B的左側(cè))兩點的橫坐標(biāo)是方程的兩個根,點D在y軸上其中.
(1)求平行四邊形ABCD的面積;
(2)若P是第一象限位于直線BD上方的一點,過P作于E,過E作軸于H點,作PF∥y軸交直線BD于F,F為BD中點,其中△PEF的周長是;若M為線段AD上一動點,N為直線BD上一動點,連接HN,NM,求的最小值,此時y軸上有一個動點G,當(dāng)最大時,求G點坐標(biāo);
(3)在(2)的情況下,將△AOD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到如圖2,將線段沿著x軸平移,記平移過程中的線段為,在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點S,使得以點,,E,S為頂點的四邊形為菱形,若存在,請求出點S的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,E,D,F分別是邊AB,BC,AC的中點.
(1)求證:四邊形AEDF是菱形;
(2)若∠B=30°,BC=4 ,求四邊形AEDF的周長.
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【題目】某出租車一天下午某時間段以廣場為出發(fā)點,在東西方向的大道上營運,規(guī)定向東為正,向西為負(fù),單次行車?yán)锍桃老群箜樞蛴涗浫缦拢海▎挝唬?/span>)+9,-3,-5,+4,-8,+7,-2,-5,+8,-4
(1)該出租車司機(jī)將最后一名乘客送到目的地后,出租車在廣場的什么方向?距廣場多遠(yuǎn)?
(2)若每千米耗油0.08升,該出租車這個時間段共耗油多少升?
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【題目】甲、乙兩人分別騎自行車和摩托車沿相同路線由A地到相距80千米的B地,行駛過程中的函數(shù)圖像如圖所示。
(1)請根據(jù)圖像回答下列問題:甲先出發(fā) 小時后,乙才出發(fā);在甲出發(fā) 小時后兩人相遇,這時他們距A地 千米;
(2)乙的行駛速度 千米/小時;
(3)分別求出甲、乙在行駛過程中的路程(千米)與時間(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)。
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