Question

已知∠MON=90°，點A，B分別是OM，ON上的動點．
（1）如圖（1），若P₁是∠OAB和∠OBA的平分線的交點，則∠BP₁A的大小是否發(fā)生變化？若不變，則∠BP₁A為多少度？
（2）如圖（2），若P₂是∠BAO和△OBA的外角∠OBD的平分線的交點，則∠BP₂A的大小是否發(fā)生變化？為什么？

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)∠MON=90°得出∠OBA+∠OAB的度數(shù)，再由P₁是∠OAB和∠OBA的平分線的交點即可得出∠BP₁A的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∠OBD=∠OAB+∠MON，∠P₂BD=∠AP₂B+∠P₂AB，再根據(jù)角平分線的定義∠BAP₂=

1

2

∠OAB，∠P₂BD=

1

2

∠OBD，代入整理即可得到∠AP₂B=

1

2

∠MON=45°．

解答：解：（1）∵∠MON=90°，
∴∠OBA+∠OAB=90°．
∵P₁是∠OAB和∠OBA的平分線的交點，
∴∠ABP₁+∠BAP₁=

1

2

×（∠OBA+∠OAB）=

1

2

×90°=45°
∴∠BP₁A=180°-（∠ABP₁+∠BAP₁）=180°-45°=135°；

（2）∠BP₂A的大小不變．
理由：∵AP₂平分∠OAB，
∴∠BAP₂=

1

2

∠OAB，
∵BP₂平分∠OBD，
∴∠P₂BD=

1

2

∠OBD，
∵∠OBD=∠MON+∠OAB，∠P₂BD=∠AP₂B+∠BAP₂，
∴∠ABP₂=∠P₂BD-∠BAP₂=

1

2

（∠MON+∠OAB）-

1

2

∠OAB=

1

2

∠MON=

1

2

×90°=45°．

點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．