Question

2．已知，在四邊形ABCD中，點E、F分別在邊BC、DC上，連接AF、EF．
（1）如圖1，若四邊形ABCD為正方形，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF；
（2）如圖2，若四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，試問（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長CB到G，使BG=FD，根據(jù)已知條件容易證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，進(jìn)一步得到∠EAF=∠GAE，現(xiàn)在可以證明△AEF≌△AEG，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明結(jié)論成立；
（2）把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ADF=∠ABG，∠GAF=∠BAD，AG=AF，BG=DF，再證明點G在CB的延長線上，
即GE=BG+BE，然后證明△AEG≌△AEF，得到EF=GE，所以EF=BE+BG=BE+DF．

解答 解：（1）如圖①，延長CB到G，使BG=FD，

∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAE，
在△AEG和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF；

（2）（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：
把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠DAB的度數(shù)得到△ABG，如圖②，②
∴∠ADF=∠ABG，∠GAF=∠BAD，AG=AF，BG=DF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ABG=180°，
∴點G在CB的延長線上，
∴GE=BG+BE，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠GAE，
∴∠EAF=∠GAE，
在△AEG和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=GE，
∴EF=BE+BG=BE+DF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．