Question

10．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分 ②是部分①面積的一半，部分 ③是部分②面積的一半，依此類推，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{{2}^{2015}}$
• B． 1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{4030}}$
• D． 不能確定

Answer 1

分析 結(jié)合圖形，可以發(fā)現(xiàn)，正方形面積為1，①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，②的面積等于$\frac{1}{4}$，③的面積等于$\frac{1}{8}$，則$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$的計(jì)算，可以由圖形求得．因此$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$的值為整個(gè)正方形面積減去$\frac{1}{{2}^{2015}}$，可以得出結(jié)果．

解答 解：∵正方形邊長(zhǎng)為1，
∴正方形面積為1．
∵①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，
∴①的面積為$\frac{1}{2}$，
依此論推②的面積為$\frac{1}{4}$，
③的面積為$\frac{1}{8}$，
…
因此．求$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$的值，
即為求將圖形分割下去空白部分的面積，
此時(shí)剩余陰影部分面積為：$\frac{1}{{2}^{2015}}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{2015}}$=1-$\frac{1}{{2}^{2015}}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了圖形與數(shù)字變化結(jié)合的知識(shí)，通過圖形的變化與數(shù)字結(jié)合起來，找出二者的關(guān)系，進(jìn)而求出題目答案．另外本題也是等比數(shù)列求和問題，根據(jù)等比數(shù)列求和公式S_n=$\frac{{a}_{1}×（1-{q}^{n}）}{1-q}$也可以求出本題答案．