Question

如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時(shí)有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值；
（3）若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn)（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為

 

，能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)點(diǎn)為

 

或

 

或

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,菱形的判定與性質(zhì),等腰梯形的判定,垂徑定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由AO∥PD可得∠CPO=∠AOP，從而有∠APO=∠AOP，則有AP=AO．
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，如圖2．根據(jù)垂徑定理可得AH=BH=6，從而可求出PH，在Rt△AHO中，運(yùn)用勾股定理可求出OH，然后運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義就可解決問(wèn)題．
（3））①過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥CD于Q，連接OC，如圖3．易證△PQO≌△PHO，則有PQ=PH，OQ=OH，從而可證到Rt△OQC≌Rt△OHA（HL），則有QC=HA，從而可證到PC=PA=OA=OC，因而四邊形PAOC是菱形．②連接OC、OB，如圖4．由四邊形PAOC是菱形可得OC∥PA，易證PC=OB，故四邊形PCOB是等腰梯形．③連接OC、OD，如圖5．同理可得梯形PAOD是等腰梯形．④連接OC、AC、BD，如圖6．由四邊形PAOC是菱形可得PA=PC，則有∠PAC=∠PCA．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，從而有∠PAC=∠PDB=∠PCA=∠PBD，則有PD=PB，AC∥BD，易證CD=AB，故四邊形ABDC是等腰梯形．

解答：（1）證明：如圖1，

∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵AO∥PD，
∴∠CPO=∠AOP，
∴∠APO=∠AOP，
∴AP=AO．

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，如圖2．

根據(jù)垂徑定理可得AH=BH=

1

2

AB=6，
∴PH=PA+AH=AO+AH=10+6=16．
在Rt△AHO中，
OH=

OA2-AH2

=

100-36

=8，
∴tan∠OPB=

OH

PH

=

8

16

=

1

2

．
∴tan∠OPB的值為

1

2

．

（3）解：①過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥CD于Q，連接OC，如圖3．

在△PQO和△PHO中，

∠QPO=∠HPO ∠PQO=∠PHO=90° PO=PO

，
∴△PQO≌△PHO（AAS），
∴PQ=PH，OQ=OH．
在Rt△OQC和Rt△OHA中，

OQ=OH OC=OA

，
∴Rt△OQC≌Rt△OHA（HL），
∴QC=HA，
∴PC=PA，
∴PC=PA=OA=OC，
∴四邊形PAOC是菱形．
②連接OC、OB，如圖4．

∵四邊形PAOC是菱形，∴OC∥PA．
∵PC∥OA，∴PC與OB不平行，
∴四邊形PCOB是梯形．
∵PC=OA=OB，
∴梯形PCOB是等腰梯形．
③連接OC、OD，如圖5．

∵四邊形PAOC是菱形，
∴PA∥OC，
∴PA與OD不平行．
∵OA∥PD，
∴四邊形PAOD是梯形．
∵PA=OA=OD，
∴梯形PAOD是等腰梯形．
④連接OC、AC、BD，如圖6．

∵四邊形PAOC是菱形，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，
∴∠PAC=∠PDB=∠PCA=∠PBD，
∴PD=PB，AC∥BD，
∵CD與AB不平行，
∴四邊形ABDC是梯形，
∵CD=PD-PC=PB-PA=AB，
∴梯形ABDC是等腰梯形．
故答案為：P、A、O、C；P、A、O、D；P、B、O、C；A、B、D、C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．