Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0），cos∠AOC=

2

3

，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象經(jīng)過菱形頂點(diǎn)A，且交BC邊于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）猜想點(diǎn)D是否為BC的中點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作AE⊥OC于點(diǎn)E，在直角△OAE中利用三角函數(shù)以及勾股定理求得OE和AE的長，即可求得A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求得反比例函數(shù)解析式，求得B的坐標(biāo)；
（2）求得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可判斷．

解答：解：（1）作AE⊥OC于點(diǎn)E．
∵四邊形OABC是菱形，
∴OA=OC=6，
又∵cos∠AOC=

OE

OA

=

2

3

，
∴OE=

2

3

OA=

2

3

×6=4，
在直角△OAE中，AE=

OA2-OE2

=

62-42

=2

5

，
則A的坐標(biāo)是（4，2

5

），代入y=

k

x

，得：k=8

5

．
則反比例函數(shù)的解析式是：y=

8 5

x

．
B的坐標(biāo)是（10，2

5

）；
（2）BC的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，

5

）．
把x=8，y=

5

代入y=

8 5

x

成立，
則BC的中點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，即D是BC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)，求得A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．