Question

已知Rt△AOB中，OA=8，OB=6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從OA所在位置開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥OA），并且分別與線段OB、AB交于點(diǎn)E、F，連結(jié)BP，交直線EF于點(diǎn)C．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)四邊形OPEC的面積等于△BCF的面積時(shí)，求此時(shí)t的值；
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)刻t，使得直線EF恰好平分△APB的外接圓？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)題意得先證明△BEC∽△BOP，利用相似比表示出EC，再利用△BEF∽△BOA得到EF，則可表示出CF，然后根據(jù)三角形面積公式和梯形面積公式得到

1

2

關(guān)于t的一元二次方程，然后解方程即可；
（2）作AB的垂直平分線MN，垂足為M，交x軸于N，作AP的垂直平分線QG，垂足為G，交MN于Q，如圖，則點(diǎn)Q為△APB的外接圓的圓心，先證明△AMN∽△AOB，利用相似比可計(jì)算出AN=

25

4

，則ON=OA-AN=

7

4

，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

4

，0），再利用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，然后用t表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若直線EF恰好平分△APB的外接圓，則直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，于是用點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)等于t得到方程，再解方程即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得OE=t，PA=2t，則OP=8-2t，BE=6-t，
∵EC∥OP，
∴△BEC∽△BOP，
∴

BE

BO

=

EC

OP

，即

6-t

6

=

EC

8-2t

，
∴EC=

1

3

t²-

10

3

t+8，
∵EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴

BE

BO

=

EF

OA

，即

6-t

6

=

EF

8

，
∴EF=8-

4

3

t，
∴CF=EF-EC=-

1

3

t²+2t，
∴S_△BCF=

1

2

•（6-t）•（-

1

3

t²+2t），
S_梯形OPCE=

1

2

（

1

3

t²-

10

3

t+8+2t）•t，
∴

1

2

•（6-t）•（-

1

3

t²+2t）=

1

2

（

1

3

t²-

10

3

t+8+2t）•t，
整理得2t²-3t=0，解得t₁=0（舍去），t₂=

3

2

，
∴t的值為

3

2

；

（2）存在．
作AB的垂直平分線MN，垂足為M，交x軸于N，作AP的垂直平分線QG，垂足為G，交MN于Q，如圖，
則點(diǎn)Q為△APB的外接圓的圓心，
∵A（8，0），B（0，6），
∴M（4，3），AB=10，AM=5，
∵∠MAN=∠OAB，
∴△AMN∽△AOB，
∴

AN

AB

=

AM

OA

，即

AN

10

=

5

8

，解得AN=

25

4

，
∴ON=OA-AN=8-

25

4

=

7

4

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

4

，0），
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，
把M（4，3），N（

7

4

，0）代入得

4k+b=3 7 4 k+b=0

，解得

k= 4 3 b=- 7 3

，
∴直線MN的解析式為y=

4

3

x-

7

3

，
∵PA=2t，
∴GA=GA=t，
∴OG=8-t，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（8-t，0），
把x=8-t代入y=

4

3

x-

7

3

得y=

4

3

（8-t）-

7

3

=-

4

3

t+

25

3

，
∴Q（8-t，-

4

3

t+

25

3

），
∴QG=-

4

3

t+

25

3

，
∵當(dāng)直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，直線EF恰好平分△APB的外接圓，
∴t=-

4

3

t+

25

3

，
∴t=

25

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、相似三角形的判定與直線；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；學(xué)會(huì)解決關(guān)于運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題方法．