Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交X軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B與AB垂直的直線交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，連接BC．
（1）求直線BC的解析式．
（2）點(diǎn)E（t，0）為線段CD上的一點(diǎn)（不與C、D兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)E作EP∥BC，交直線BD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥x軸，交直線AB于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)M，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍）．
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的t值，使得△PCM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)直線y=2x+4求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線BD的解析式，從而求得D的坐標(biāo)，根據(jù)已知求得C的坐標(biāo)，然后應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式；
（2）根據(jù)EP∥BC，求得

DE

CE

=

PD

PB

，

PB

BD

=

8-t

5

，根據(jù)PQ∥x軸，求得

PQ

AD

=

PB

BD

=

8-t

5

，因?yàn)锳D=10，即可求得d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分兩種情況討論即可求得．

解答：解：（1）∵直線y=2x+4交X軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（-2，0），B（（0，4），
∵AB⊥BD，
∴直線BD為：y=-

1

2

x+4，
∴D（8，0），
∵點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，
∴C（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則

4=b o=3k+b

，
解得

k=- 4 3 b=4

．
∴直線BC的解析式為：y=-

4

3

x+4；

（2）如圖1，∵EP∥BC，
∴

DE

CE

=

PD

PB

，
即

8-t

t-3

=

PD

PB

，
∴

PB

BD

=

8-t

5

，
∵PQ∥x軸，
∴

PQ

AD

=

PB

BD

=

8-t

5

，
∵AD=10，PQ=d，
∴d=-2t+16（3＜t＜8）；

（3）存在；
如圖2，當(dāng)∠CPM=90°時(shí)，∵PQ∥AD，
∴PC⊥AD，
∴PC∥OB，
∴

BP

PD

=

OC

CD

=

3

5

，
∴

BP

BD

=

3

8

，
∵

PQ

AD

=

BP

BD

，
∴

d

10

=

3

5

，解得：d=6，
代入d=-2t+16，得6=-2t+16，解得t=5，
如圖3，當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，則∠PCE+∠BCO=90°，
∴△PCE∽△OBC，
∴

PE

OC

=

CE

BC

，
∵BC=

OB2+OC2

=

32+42

=5，CE=t-3，OC=3，
∴PE=

3t-9

5

，
∵PE∥BC，
∴

ED

CD

=

PE

BC

，
∴

8-t

5

=

3t-9 5

5

，解得：t=

49

8

；
所以當(dāng)t=5或

49

8

時(shí)，使得△PCM是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，待定系數(shù)法求解析式，平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，本題的關(guān)鍵是（3）一定要考慮全面；