Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N.

(1)請判斷△CMN的形狀，并說明理由；

(2)如果MC =3ND，CD =4，求線段MN的長。

Answer 1

【答案】（1）△CMN是等腰三角形（2）2

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；

（2）首先過點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，由MC=3ND，易得MH=2HC，然后設(shè)DN=x，在Rt△CDN中，利用勾股定理得出DC，求出x，再在Rt△MNH中根據(jù)勾股定理，可求得MN的長．

解：（1）△CMN是等腰三角形．理由如下：

由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠ANM=∠CMN．

∴∠CMN=∠CNM．

∴CM=CN，

即△CMN為等腰三角形；

（2）過點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵MC=3ND，

∴MH=2HC．

設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CN=CM=3x．

在Rt△CDN中，，

，

，

在Rt△MNH中，.