Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，PA、PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A、C，PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.DE⊥PO交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：∠EPD＝∠EDO；

(2)若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) OE＝.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)即可證明：∠EPD=∠EDO；

（2）連接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再證明△OED∽△DEP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，

∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，

∴∠PAO=90°，

∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，

∴∠APO=∠EDO，

∴∠EPD=∠EDO；

（2）解：連接OC，

∴PA=PC=6，

∵tan∠PDA=，

∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，

∴CD=4，

∵tan∠PDA=，

∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，

∵∠EPD=∠ODE，

∴△OED∽△DEP，

∴，

∴DE=2OE

在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，

∴OE=．