Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=12cm．點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤12）．
（1）當(dāng)t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？
（2）求四邊形QAPC的面積；
（3）當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),等腰直角三角形,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由題意，AP=AQ時△QAP為等腰直角三角形，得出2t=12-t，即可解得t的值；
（2）根據(jù)S=S_△AQC+S_△APC，即可求得；
（3）有兩種情況，分別討論求得．

解答：解：（1）由題意得，AP=AQ時△QAP為等腰直角三角形，
即2t=12-t，
解得t=4．
所以當(dāng)t為4時，△QAP為等腰直角三角形；
（2）∵S=S_△AQC+S_△APC，
∴S=

1

2

AQ•CD+

1

2

AP•BC=

1

2

（12-t）×24+

1

2

×2t×12=144cm²；
所以四邊形QAPC的面積為144cm²．
（3）有兩種情況：
①當(dāng)△QAP∽△ABC時，

QA

AP

=

AB

BC

，
即

12-t

2t

=2，解得，t=

12

5

，
②當(dāng)△PAQ∽△ABC時，

AP

QA

=

AB

BC

，
即

2t

12-t

=2，解得，t=6，
所以當(dāng)t為

12

5

或6時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是本題的關(guān)鍵．