【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD,連接CD交AB于點(diǎn)M.E是線段CM上的點(diǎn),連接BE.F是△BDE的外接圓與AD的另一個(gè)交點(diǎn),連接EF,BF,
(1)求證:△BEF是直角三角形;
(2)求證:△BEF∽△BCA;
(3)當(dāng)AB=6,BC=m時(shí),在線段CM正存在點(diǎn)E,使得EF和AB互相平分,求m的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)想辦法證明∠BEF=90°即可解決問(wèn)題(也可以利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)直接證明).
(2)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明.
(3)證明四邊形AFBE是平行四邊形,推出FJ=BD=m,EF=m,由△ABC∽△CBM,可得BM=,由△BEF∽△BCA,推出,由此構(gòu)建方程求解即可.
(1)證明:由折疊可知,∠ADB=∠ACB=90°
∵∠EFB=∠EDB,∠EBF=∠EDF,
∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°,
∴∠BEF=90°,
∴△BEF是直角三角形.
(2) 證明:∵BC=BD,
∴∠BDC=∠BCD,
∵∠EFB=∠EDB,
∴∠EFB=∠BCD,
∵AC=AD,BC=BD,
∴AB⊥CD,
∴∠AMC=90°,
∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°,
∴∠BCD=∠CAB,
∴∠BFE=∠CAB,
∵∠ACB=∠FEB=90°,
∴△BEF∽△BCA.
(3) 設(shè)EF交AB于J.連接AE,如下圖所示:
∵EF與AB互相平分,
∴四邊形AFBE是平行四邊形,
∴∠EFA=∠FEB=90°,即EF⊥AD,
∵BD⊥AD,
∴EF∥BD,
∵AJ=JB,
∴AF=DF,
∴ FJ=
∴ EF=
∵ △ABC∽△CBM
∴ BC:MB=AB:BC
∴ BM=,
∵ △BEJ∽△BME,
∴ BE:BM=BJ:BE
∴ BE=,
∵ △BEF∽△BCA,
∴
即
解得(負(fù)根舍去).
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知:AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,CD是⊙O的切線,AD⊥CD于點(diǎn)D.E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE交⊙O于點(diǎn)F,連結(jié)OC,AC.
(1)求證:AC平分∠DAO;
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度數(shù).②若⊙O的半徑為,求線段EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】黔東南州某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,已知購(gòu)進(jìn)3件甲商品和2件乙商品,需60元;購(gòu)進(jìn)2件甲商品和3件乙商品,需65元.
(1)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少?
(2)設(shè)甲商品的銷售單價(jià)為x(單位:元/件),在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn):當(dāng)11≤x≤19時(shí),甲商品的日銷售量y(單位:件)與銷售單價(jià)x之間存在一次函數(shù)關(guān)系,x、y之間的部分?jǐn)?shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系如表:
銷售單價(jià)x(元/件) | 11 | 19 |
日銷售量y(件) | 18 | 2 |
請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)11≤x≤19時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在(2)的條件下,設(shè)甲商品的日銷售利潤(rùn)為w元,當(dāng)甲商品的銷售單價(jià)x(元/件)定為多少時(shí),日銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形中,對(duì)角線相交于點(diǎn),點(diǎn)為線段上一點(diǎn),連接,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接交于點(diǎn).
(1)若,求的面積;
(2)如圖2,線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),求證:;
(3)如圖3,點(diǎn)為射線上一點(diǎn),線段的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn),交直線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把一張寬為1cm的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊成如圖所示的陰影圖案,頂點(diǎn)A,D互相重合,中間空白部分是以E為直角頂點(diǎn),腰長(zhǎng)為2cm的等腰直角三角形,則紙片的長(zhǎng)AD(單位:cm)為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,AB為的直徑,C為上一點(diǎn),P是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:DP是的切線;
(2)若AC=5,,求AP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合),DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G,DF⊥DG,且交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AE=BF;
(2)連接EF,求證:∠FEB=∠GDA;
(3)連接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一個(gè)矩形紙片,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn).
(1)如圖①,經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片,得點(diǎn)和折痕.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),求的度數(shù);
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊紙片,使點(diǎn)B落在點(diǎn)的位置,與交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)P作直線,交于點(diǎn)Q,再取中點(diǎn)T,中點(diǎn)N,分別以,,,為折痕,依次折疊該紙片,折疊后點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好重合,且落在線段上,A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也恰好重合,也落在線段上,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某服裝公司有型童裝80件,型童裝120件,分配給下屬的“萬(wàn)達(dá)”和“萬(wàn)象城”兩個(gè)專賣店銷售,其中140件給萬(wàn)達(dá)店,60件給萬(wàn)象城店,且都能賣完,兩商店銷售這兩種童裝每件的利潤(rùn)(元)如表:
型利潤(rùn)(元) | 型利潤(rùn)(元) | |
萬(wàn)達(dá)店 | 100 | 80 |
萬(wàn)象城店 | 80 | 90 |
(1)設(shè)分配給萬(wàn)達(dá)店型產(chǎn)品件(),請(qǐng)?jiān)谙卤碇杏煤?/span>的代數(shù)式填寫(xiě):
型分配量(件) | 型分配量(件) | |
萬(wàn)達(dá)店 | ______ | |
萬(wàn)象城店 | ______ | ______ |
若記這家服裝公司賣出這200件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為(元),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系.
(2)現(xiàn)要求總利潤(rùn)不低于18140元,請(qǐng)說(shuō)明有多少種不同分配方案,并寫(xiě)出各種分配方案.
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