【題目】如圖1所示,等邊△ABC中,ADBC邊上的中線,根據(jù)等腰三角形的三線合一特性,AD平分∠BAC,且ADBC,則有∠BAD=30°,BD=CD=AB.于是可得出結(jié)論直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.

請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問(wèn)題:

(1)如圖2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,垂足為E,當(dāng)BD=5cm,B=30°時(shí),求△ACD的周長(zhǎng).

(2)如圖3所示,在△ABC中,AB=AC,A=120°,DBC的中點(diǎn),DEAB,垂足為E,求BE:EA的值.

(3)如圖4所示,在等邊△ABC中,D、E分別是BC、AC上的點(diǎn),且AE=DC,AD、BE交于點(diǎn)P,作BQADQ,若BP=2,求PQ的長(zhǎng).

【答案】(1)15cm;(2)3:1;(3)PQ=1.

【解析】

(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)知CDBD,得出ACD的周長(zhǎng)=AC+AB;

(2)連接AD.利用等腰三角形的性質(zhì)、垂直的定義推知BADE=30°,然后由”30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半分別求得BE、AE的值,即可得出結(jié)果;

(3)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明BAE≌△ACD,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,以及三角形外角的性質(zhì),可以得到PBQ=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出PQ=1,再由勾股定理求出BQ即可.

解:(1)∵DE是線段BC的垂直平分線,∠ACB90°,

CDBD,ADBD

又∵在ABC中,∠ACB90°,∠B30°

∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+AB=3BD=15cm

故答案為:15cm;

2)如圖,連接AD

∵在ABC中,ABAC,∠A120°,DBC的中點(diǎn),

∴∠BAD60°

又∵DEAB,

∴∠B=∠ADE30°

又∵

BEAE31

故答案為:31

3)∵△ABC為等邊三角形.

ABAC,∠BAC=∠ACB60°,

BAEACD中,

∴△BAE≌△ACDSAS),

∴∠ABE=∠CAD

∵∠BPQABP外角,

∴∠BPQ=∠ABE+BAD

∴∠BPQ=∠CAD+BAD=∠BAC60°

BQAD

∴∠PBQ30°,

BP=2PQ=2

PQ=1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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解:

理由如下:

∵四邊形的內(nèi)角和為360°,

( )+( )=180°,

平分,平分,

( )

,

. ( )

.( )

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1)老趙某天的步數(shù)為13000步,則他當(dāng)日可捐多少錢?

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