Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-

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x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知點A（-1，0），點C（0，-2）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；
（3）此拋物線上是否存在點P，使得以P、A、C、B為頂點的四邊形為梯形？若存在，請寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若點M是線段BC下方的拋物線上的一個動點，求△MBC面積的最大值以及此時點M的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）點A、C的坐標代入解析式中即可；
（2）利用△OAC∽△OCB或勾股定理逆定理，判斷出△ABC為直角三角形；外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為（

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，0）；
（3）根據(jù)梯形的定義，分①AB是底邊時，PC∥AB，利用點P的縱坐標與點C的縱坐標相等，代入拋物線解析式計算求出點P的橫坐標，即可得解；②AC是底邊時，PB∥AC，先根據(jù)點A、C的坐標得到直線AC的解析式，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出過點B與AC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標；③BC是底邊時，AP∥BC，根據(jù)點B、C的坐標求出直線BC的解析式，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出過點A與BC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標；
（4）△MBC的面積可由S_△MBC=

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BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．

解答：解：（1）將A（-1，0）、點C（0，-2）．代入y=ax²-

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x+c（a≠0），得

a+ 3 2 +c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 c=-2

．
故該拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：B（4，0）．
∵A（-1，0）、C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；
所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（

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2

，0）；

（3））①AB是底邊時，PC∥AB，則點P的縱坐標與點C的縱坐標相同，是-2，
即

1

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x²-

3

2

x-2=-2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0（為點C坐標，舍去），x₂=3，
所以，點P的坐標為（3，-2）；
②AC是底邊時，PB∥AC，由點A（-1，0）、C（0，-2）可得直線AC的解析式為y=-

1

2

x-2，
設(shè)直線PB的解析式為y=-

1

2

x+m，
把點B（4，0）代入得，-

1

2

×4+m=0，
解得m=2，
所以，直線PB的解析式為y=-

1

2

x+2，
則

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=- 1 2 x+2

，
解得

x=-5 y=18

或

x=4 y=0

（為點B的坐標，舍去），
所以，點P的坐標為（-5，18）；
③BC是底邊時，AP∥BC，由點B（4，0）、C（0，-2）可得直線BC的解析式為y=2x-2，
設(shè)直線AP的解析式為y=2x+n，
把點A（-1，0）代入得，2×（-1）+n=0，
解得n=2，
所以，直線AP的解析式為y=2x+2，
則

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=2x+2

，
解得

x=5 y=3

或

x=-1 y=0

（為點A的坐標，舍去），
所以，點P的坐標為（5，3）；
經(jīng)檢驗，三種情況時，兩底邊都不相等，
綜上所述，符合條件的點P共有3個：（3，-2）或（5，3）或（-5，18）；

（4）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=

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x-2；
設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=

1

2

x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

1

2

x+b=

1

2

x²-

3

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x-2，即：

1

2

x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×

1

2

（-2-b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=

1

2

x-4．
∴點M即直線l和拋物線的唯一交點，則

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y= 1 2 x-4

，
解得：

x=2 y=-3

，即 M（2，-3）．
過M點作MN⊥x軸于N，
S_△BMC=S_梯形OCMN+S_△MNB-S_△OCB=

1

2

×2×（2+3）+

1

2

×2×3-

1

2

×2×4=4．
綜上所述，點M（2，-3），△MBC面積最大值是4．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識點較多，綜合性很強．熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的面積公式是理出思路的關(guān)鍵．（3）要分AB、AC、BC分別是底邊三種情況討論求解．