求函數(shù)y=
x2+4x+5
+
x2-4x+8
的最小值.
考點:無理函數(shù)的最值
專題:數(shù)形結(jié)合
分析:可將不熟悉的“求兩個二次根式和的最小值”的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“求兩條線段和的最小值“的問題.若A的坐標(biāo)為(x,0),B的坐標(biāo)為(-2,1),C的坐標(biāo)為(2,2),則根據(jù)勾股定理可得AB=
(x+2)2+12
,AC=
(x-2)2+22
,從而得到y(tǒng)=AB+AC,只需求出AB+AC的最小值就可解決問題.
解答:解:如圖,B的坐標(biāo)為(-2,1),C的坐標(biāo)為(2,2),點A在x軸上.
過點B作BD⊥x軸于D,過點C作CE⊥x軸于E,延長CE到點C′,使得EC′=EC,連接AB、AC、AC′、BC′,
則點C′的坐標(biāo)為(2,-2).
設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,0),
在Rt△ADB中,
∵AD=
.
x-(-2)
.
=
.
x+2
.
,BD=1,
∴AB=
AD2+BD2
=
(x+2)2+12
=
x2+4x+5

在Rt△AEC中,
∵AE=
.
2-x
.
,CE=2,
∴AC=
AE2+CE2
=
(2-x)2+22
=
x2-4x+8

∵AE⊥CC′,CE=C′E,∴AC=AC′.
∴y=
x2+4x+5
+
x2-4x+8
=AB+AC=AB+AC′.
根據(jù)兩點之間線段最短可得:
當(dāng)B、A、C′三點共線時,y取到最小值,等于BC′長.
過點C′作C′H⊥BD交BD的延長線于H,
在Rt△BHC′中,
∵BH=1-(-2)=3,C′H=2-(-2)=4,
∴BC′=
BH2+C′H2
=5.
∴y=
x2+4x+5
+
x2-4x+8
的最小值為5.
點評:本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識,考查了創(chuàng)造性思維和數(shù)形結(jié)合的思想,而把問題轉(zhuǎn)化為求線段和的最小值是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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的最小值為
 

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(x-3)2
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某商店需購進(jìn)一批電視機(jī)和洗衣機(jī),最多可籌集資金161800元,計劃購進(jìn)電視機(jī)和洗衣機(jī)共100臺.根據(jù)市場調(diào)查,決定電視機(jī)進(jìn)貨量不少于37臺,電視機(jī)與洗衣機(jī)的進(jìn)價和售價如下表:
類別電視機(jī)洗衣機(jī)
進(jìn)價(元/臺)18001500
售價(元/臺)20001600
(1)請你幫助商店算一算有多少種進(jìn)貨方案?(不考慮除進(jìn)價之外的其它費用)
(2)哪種進(jìn)貨方案可使商店購進(jìn)的電視機(jī)與洗衣機(jī)銷售完畢后獲得利潤最大?并求出最大利潤.(利潤=售價-進(jìn)價)

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9n-1
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根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)這次共調(diào)查了多少名學(xué)生?扇形圖中m的值是多少?
(2)通過計算補全直方圖.
(3)被調(diào)查的學(xué)生中,肺活量在各個范圍內(nèi)的男女生人數(shù)比例如下表:
肺活量(mL)ABCD
男:女1:32:33:14:1
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觀察式子:
b3
a
,-
b5
a2
b7
a3
,-
b9
a4
,…,根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律知,第n個式子為
 

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