Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-3，0）、B（5，0）、C（0，5）三點，O為坐標(biāo)原點
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若把拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）向下平移$\frac{13}{3}$個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi)，求n的取值范圍；
（3）設(shè)點P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）可先求得拋物線的頂點坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)平移，可得平移后的坐標(biāo)為（1+n，1），再由B、C兩點的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，可求得y=1時，對應(yīng)的x的值，從而可求得n的取值范圍；
（3）當(dāng)點P在y軸負半軸上時，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，根據(jù)條件可知∠PAD=45°，設(shè)PD=DA=m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的長，此時可求得PO=12，利用等腰三角形的性質(zhì)，可知當(dāng)P點在y軸正半軸上時，則有OP=12，從而可求得PC=5．

解答 解：
（1）把A、B、C三點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+5；
（2）∵y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+5，
∴拋物線頂點坐標(biāo)為（1，$\frac{16}{3}$），
∴當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）向下平移$\frac{13}{3}$個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度后，得到的新拋物線的頂點M坐標(biāo)為（1+n，1），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+m，把B、C兩點坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{5k+m=0}\\{m=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=5}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+5，
令y=1，代入可得1=-x+5，解得x=4，
∵新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi)，
∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，
即n的取值范圍為0＜n＜3；
（3）當(dāng)點P在y軸負半軸上時，如圖1，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，

由題意可知OB=OC=5，
∴∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=$\sqrt{34}$，
設(shè)PD=AD=m，則CD=AC+AD=$\sqrt{34}$+m，
∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，
∴△COA∽△CDP，
∴$\frac{CO}{CD}$=$\frac{AO}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$，即$\frac{5}{\sqrt{34}+m}$=$\frac{3}{m}$=$\frac{\sqrt{34}}{PC}$，
由$\frac{5}{\sqrt{34}+m}$=$\frac{3}{m}$可求得m=$\frac{3\sqrt{34}}{2}$，
∴$\frac{3}{\frac{3\sqrt{34}}{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{PC}$，解得PC=17；
可求得PO=PC-OC=17-5=12，
如圖2，在y軸正半軸上截取OP′=OP=12，連接AP′，

則∠OP′A=∠OPA，
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，
∴P′也滿足題目條件，此時P′C=OP′-OC=12-5=7，
綜上可知PC的長為7或17．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到的知識點有待定系數(shù)法、坐標(biāo)的平移、三角形的外角、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論等．在（2）中確定出M點向右平移的最大位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．本題目考查知識點多，綜合性強，特別是第（3）問難度很大．