Question

已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠BAD=135°，AB=20，CD=40，以A為圓心，AB長為半徑作圓．求證：在⊙A上，在⊙A內(nèi)，⊙A外都有線段DC上的點．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì),點與圓的位置關系

專題：常規(guī)題型,證明題

分析：計算圓心A到DC的最短距離AE與最長距離AC，然后與半徑AB比較即可．

解答：證明：過點A作AE⊥DC，垂足為E，過點B作BF⊥DC，垂足為F，連接AC，
在四邊形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∵∠BAD=135°，
∴∠D=45°，
∵AE⊥DC，BF⊥DC，
∴△ADE和△BFC都是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BF=FC=

1

2

(DC-AB)=

1

2

×(40-20)=10，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
AC²=AE²+EC²=10²+30²=1000，
∴AC=10

10

，
∵AE=10＜20，AC=10

10

＞20，
∴在⊙A上，在⊙A內(nèi)，⊙A外都有線段DC上的點．

點評：此題考查等腰梯形的性質(zhì)，及點與圓的位置關系，解題關鍵：利用點與圓心的距離來判斷點與圓的位置關系．