Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程|（x+3）（x+1）|=x+4a有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象,一次函數(shù)的圖象

專題：

分析：作出函數(shù)圖象，寫出拋物線x軸下方部分關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線解析式，再與直線y=x+4a聯(lián)立求出有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的a值，然后寫出有3個(gè)解時(shí)的k值即可．

解答：解：如圖，（x+3）（x+1）=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
所以拋物線y=（x+3）（x+1）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），（-1，0），
x=-3時(shí)，-3+4a=0，
解得x=

3

4

，
原拋物線x軸下方部分關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線解析式為y=-（x+3）（x+1），
聯(lián)立

y=-(x+3)(x+1) y=x+4a

，
消掉y得，x²+5x+3+4a=0，
△=5²-4×1×（3+4a）=0，
解得a=

13

16

，
所以方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)根，a的值為

3

4

或

13

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)要注意x軸下方部分的拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，難點(diǎn)在于聯(lián)立函數(shù)解析式求直線與拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱部分有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的情況．