Question

已知：正方形ABCD的邊長為6，點E為BC的中點，點F在AB邊上，BF=2AF．畫出∠EDF，猜想∠EDF的度數(shù)并寫出計算過程．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：根據(jù)題意畫出圖形，進一步作出輔助線，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性質(zhì)解決問題即可．
方法一：連接EF，作FG⊥DE于點G，利用勾股定理得出Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²，求得DG=DF，得出結(jié)論；
方法二：延長BC到點H，使CH=AF，連接DH，EF，證得△ADF≌△CDH和△DEF≌△DEH得出結(jié)論．

解答：解：所畫∠EDF如圖所示，
∠EDF的度數(shù)為45． 

解法一：如圖，

連接EF，作FG⊥DE于點G． 
∵正方形ABCD的邊長為6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠C=90°．
∵點E為BC的中點，
∴BE=EC=3．
∵點F在AB邊上，BF=2AF，
∴AF=2，BF=4．
在Rt△ADF中，∠A=90°，
DF²=AD²+AF²=6²+2²=40．
在Rt△BEF，Rt△CDE中，
同理有EF²=BE²+BF²=3²+4²=25，DE²=CD²+CE²=6²+3²=45．
在Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²．
設(shè)DG=x，則40-x2=25-(3

5

-x)2． 
整理，得6

5

x=60．
解得 x=2

5

，即DG=2

5

． 
∴FG=

DF2-DG2

=

40-(2 5 )2

=

20

=2

5

．
∴DG=FG．
∵∠DGF=90°，
∴∠EDF=

180°-∠DGF

2

=45°． 
解法二：如圖，

延長BC到點H，使CH=AF，連接DH，EF．
∵正方形ABCD的邊長為6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠ADC=∠DCE=90°．
∴∠DCH=180°-∠DCE=90°，∠A=∠DCH．
在△ADF和△CDH中，

AD=CD ∠A=∠DCH AF=CH

∴△ADF≌△CDH（SAS） 
∴DF=DH，∠1=∠2．
∴∠FDH=∠FDC+∠2=∠FDC+∠1=∠ADC=90°．
∵點E為BC的中點，
∴BE=EC=3．
∵點F在AB邊上，BF=2AF，
∴CH=AF=2，BF=4．
∴EH=CE+CH=5．
在Rt△BEF中，∠B=90°，
EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5．
∴EF=EH．
又∵DE=DE，
在△DEF和△DEH中，

DF=DH EF=EH DE=DE

，
∴△DEF≌△DEH（SSS） 
∴∠EDF=∠EDH=

∠FDH

2

=45°．

點評：此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法．