Question

8．如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AD=4，CE平分∠ACB交AD于點(diǎn)E．以線段CE為弦作⊙O，且圓心O落在AC上，⊙O交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．
（1）求證：AD與⊙O的相切；
（2）若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求⊙O的半徑；
（3）判斷點(diǎn)E能否為AD的中點(diǎn)，若能則求出BC的長，若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEC=∠OCE，由角平分線的定義得到∠OCE=∠DCE，等量代換得到∠OEC=∠DCE，得到OE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OE⊥AD，即可得到結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OGC=∠OCG，∠B=∠ACB，推出OG∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{CG}{BC}=\frac{OC}{AC}$，得到$\frac{OC}{AC}=\frac{1}{4}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OH}{AD}=\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，得到DE=OH=1，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（3）假設(shè)點(diǎn)E能為AD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AO=OC，推出OE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}$CD，得到AB+AC=BC，即△ABC不存在，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠DCE，
∴∠OEC=∠DCE，
∴OE∥BC，
∵AD⊥BC，
∴OE⊥AD，
∴AD與⊙O的相切；

（2）連接OG，過O作OH⊥CD于H，
∴OH∥AD，
∵OG=OC，
∴∠OGC=∠OCG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠OGC，
∴OG∥AB，
∵$\frac{CG}{BC}=\frac{OC}{AC}$，
∵點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{OC}{AC}=\frac{1}{4}$，
∴OH∥AD，
∴△COH∽△CAD，
∴$\frac{OH}{AD}=\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴OH=1，
∴DE=OH=1，
∵AD與⊙O的相切，
∴DE²=DG•CD=2DG²，
∴DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=$\sqrt{2}$，
∵OE∥CD，
∴△AOE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{OE}{CD}$，
∴OE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴⊙O的半徑是$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；

（3）點(diǎn)E不能為AD的中點(diǎn)，
假設(shè)點(diǎn)E能為AD的中點(diǎn)，
∵OE∥CD，
∴AO=OC，
∴AC為⊙O的直徑，OE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}$CD，
∵CD=BD，AB=AC，
∴AB+AC=BC，即△ABC不存在，
故點(diǎn)E不能為AD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，切割線定理，連接OG，過O作OH⊥CD于H構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．