Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=2，∠DAB=∠ABC=90°，點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，在AB上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)D作DP⊥CE于點(diǎn)P．

（1）如圖1，若AD=BC，證明：△DCP∽△CEB；
（2）在（1）的條件下，若CP•CE=4AE²，求t的值；
（3）四邊形ABCD為正方形，當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時(shí)；
①如圖2，連接AP并延長交BC于點(diǎn)G，求的值；
②如圖3，過點(diǎn)B作BP⊥CE于點(diǎn)P，交AD于點(diǎn)F，請(qǐng)你直接寫出

S△CPG

S△APF

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先求得AD∥BC，再根據(jù)AD=BC求得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)三角形相似的判定即可得出△DCP∽△CEB；
（2）由三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求得CP•CE=CD•EB，根據(jù)已知得出CD•EB=4AE²，進(jìn)而得出2（2-t）=4t²，解這個(gè)方程即可求得t的值．
（3）①根據(jù)三角形相似即可求得PC的值；
②設(shè)△PEB的面積為a，則根據(jù)題意△APE的面積=a，△APF的面積=3a，△CPG的面積=

8

3

a，即可求得．

解答：解：（1）∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DCP=∠CEB，
又∵∠DPC=∠EBC=90°，
∴△DCP∽△CEB；

（2）∵△DCP∽△CEB，
∴CP：EB=CD：CE，
∵CP•CE=CD•EB，
∵CP•CE=4AE²，
∴CD•EB=4AE²，
∵CD=AB=2，AE=t，BE=2-t，
∴2（2-t）=4t²，
解得：t=

-1+ 17

4

，t=

-1- 17

4

（舍去），
∴若CP•CE=4AE²，t的值為

-1+ 17

4

．

（3）①如圖2，∵四邊形ABCD為正方形，
∴DC=BC=AB=2，
∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，
∴EB=1，
∴CE=

EB2+CB2

=

5

，
∵AB∥CD，
∴∠DCP=∠CEB，
又：∵∠DPC=∠EBC=90°，
∴△DCP∽△CEB；
∴

PC

EB

=

CD

EC

，
∴PC=

2

5

×1=

2 5

5

．

②如圖3，∵∠ABF+∠FBC=90°，∠ECB+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠ECB，
在△ABF與△ECB中，

∠ABF=∠ECB ∠BAF=∠CBE=90° AB=BC

，
∴△ABF≌△ECB（AAS），
∴S_△ABF=S_△ECB，
∵△EPB∽△EBC，EB=1，EC=

5

，
∴S_△EPB：S_△EBC=1：5，
設(shè)S_△EPB=a，則S_△EBC=5a，
∵E是AB中點(diǎn)，
∴S_△APE=S_△EPB=a，
∵EP：PB=EB：BC=1：2，EB=1，
∴PB=

2 5

5

，
∵BF=

5

，
∴FP=

3 5

5

，
∴PB：PF=2：3，
∵AD∥BC，
∴S_△PBG：S_△PFA=4：9，
∵S_△PFA=3a，
∵S_△PBG=

4

9

×3a=

4

3

a，
∴S_△CPG=5a-a-

4

3

a=

8

3

a，
∴

S△CPG

S△APF

=

8 3 a

3a

=

8

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)以及三角形面積的比等腰相似比的平方等；點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例是本題的難點(diǎn)．