Question

【題目】如圖，矩形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形CEFG，連接DG交EF于H，連接AF交DG于M；

（1）求證：AM=FM；

（2）若∠AMD=a．求證：=cosα．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AD=FG，DC=CG，可得∠CGD=45°，可求∠FGH=∠FHG=45°，則HF=FG=AD，所以可證△ADM≌△MHF，結(jié)論可得．

（2）作FN⊥DG垂足為N，且MF=FG，可得HN=GN，且DM=MH，可證2MN=DG，由第一問(wèn)可得2MF=AF，由cosα=cos∠FMG=，代入可證結(jié)論成立

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：

CD=CG且∠DCG=90°，

∴∠DGC=45°從而∠DGF=45°，

∵∠EFG=90°，

∴HF=FG=AD

又由旋轉(zhuǎn)可知，AD∥EF，

∴∠DAM=∠HFM，

又∵∠DMA=∠HMF，

∴△ADM≌△FHM

∴AM=FM

（2）作FN⊥DG垂足為N

∵△ADM≌△MFH

∴DM=MH，AM=MF=AF

∵FH=FG，F(xiàn)N⊥HG

∴HN=NG

∵DG=DM+HM+HN+NG=2（MH+HN）

∴MN=DG

∵cos∠FMG=

∴cos∠AMD=

∴=cosα